1．4生活中的优化问题举例
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能利用导数知识解决实际生活中的最优化问题．;;
本节重点：利用导数知识解决实际中的最优化问题．
本节难点：将实际问题转化为数学问题，建立函数模型．;;1．解决实际应用问题的根本步骤
一般地，高考中的数学应用往往是以现实生活为原型设计的，其目的在于考查学生对数学语言的阅读、理解、表达与转化能力，求解时一般按以下几步进行：
(1)阅读理解，认真审题．就是读懂题中的文字表达，理解表达所反映的实际背景，领悟实际背景中的数学本质，写出题中的数量关系，实现应用问题向数学问题转化．;(2)引入数学符号，建立数学模型．一般地，设自变量为x，函数为y，并用x表示相关的量，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关的知识，将问题中的数量关系表示为一个数学关系式，实现问题的数学化，即建立数学模型．
(3)运用数学知识和方法解决上述问题．
(4)检验结果的实际意义并给出答案．;2．求最优化问题的步骤
求实际问题中的最大(小)值，主要步骤如下：
(1)抽象出实际问题的数学模型，列出变量之间的函数关系式y＝f(x)；
(2)求出函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的取值大小，最大者为最大值，最小者为最小值．;;1．解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式，这需要通过分析、联想、抽象和转化完成，函数的最值要由 和 确定，当定义域是 且函数只有一个 时，这个 也就是它的 ．
2．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为 ．通过前面的学习，我们知道 是求函数最大(小)值的有力工具，运用 可以解决一些生活中的 ．;;
[例1]在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？;[分析]根据所给几何体的体积公式建模．
[解析]设箱高为xcm，那么箱底边长为(60－2x)cm，那么得箱子容积V是x的函数，
V(x)＝(60－2x)2·x(0x30)
＝4x3－240x2＋3600x.
∴V′(x)＝12x2－480x＋3600，
令V′(x)＝0，得x＝10，或x＝30(舍去)
当0x10时，V′(x)0，
当10x30时，V′(x)0.;∴当x＝10时，V(x)取极大值，这个极大值就是V(x)的最大值．
答：当箱子的高为10cm，底面边长为40cm时，箱子的体积最大．
[点评]在解决实际应用问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只需根据实际意义判定是最大值还是最小值．不必再与端点的函数值进行比较．;
圆柱的外表积为定值S，求当圆柱的容积V最大时圆柱的高h的值．
[解析]设圆柱的底面半径为r，高为h，
那么S圆柱底＝2πr2，S圆柱侧＝2πrh，;;
[例2]有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？;;[解析]解法1：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点xkm，那么
∵BD＝40，AC＝50－x，
令y′＝0，解得x＝30.
当0x30时，y′0；当30x50时，y′0.;因此函数在x＝30(km)处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)．
∴供水站建在A，D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省．;;;[点评]解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景〞译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化、抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择适宜的数学方法求解．对于这类问题，学生往往无视了数学语言和普通语言的理解与转换，从而造成了解决应用问题的最大思维障碍．运算不过关，得不到正确的答案，对数学思想方法不理解或理解不透彻，那么找不到正确的解题思路，在此需要我们依据问题本身提供的信息，利用所谓的动态思维，去寻求有利于问题解决的变换途径和方法，并从中进行一番选择．;
设有一个容积V一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶，单位面积铝合金的价格是铁的3倍，问如何设计使总造价最小？
[解析]设圆柱体的高为h，底面半径为r，又设单位面积铁的造价为m，桶的总造价为y，那么y＝3mπr2＋m(πr2＋2πrh)．;;答：当此铁桶的高与底面半径之比等于41时，总造价最小.;[分析]根据题意，月收入＝月产量×单价＝px，月利润＝月收入－本钱＝px－(50000＋200x