4.2平行线
问题前面我们一直学的两条直线是怎样的位置关系？两条直线相交(其中垂直是相交的特殊情形)
两条直线除了相交，生活中我们还可以见到下面情况的两条直线.
1.平行线
我们已经知道，在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线(parallellines).如图4.2.1，直线a与直线b互相平行，记作“a∥b”.
在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有两种：相交或平行.ab相交ab平行
你能按照图4.2.2所示的方法，画一条直线b与已知直线a平行吗?
平行线在生活中很常见，如图4.2.3是上海国家会展中心的局部，它包含许多平行线.
如果在直线a外有一个已知点P，那么经过点P可以画多少条直线与已知直线a平行?请动手画一画.
动手操作的结果表明，经过直线外一点P只能画一条直线与已知直线a平行.于是我们得到关于平行线的一个基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
画一条直线a，按图4.2.4所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角板，画另一条直线c，也与直线a平行.你发现直线b与直线c有什么关系?你的同伴是否也有类似的发现?
此时，你会发现直线b与直线c也是平行的.这就是说：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
1.使用直尺、量角器和三角板，在如图所示的某平面图上找出互相平行的道路和互相垂直的道路.略
2.根据下列语句，利用所给三角形ABC画出图形：(1)过三角形ABC的顶点C，画出平行于AB的直线MN；(2)过三角形ABC的边AB的中点D，画出平行于AC的直线，交BC于点E.MNDE
3.如图，两条直线a、b相交于点O.如果直线a∥直线c，那么直线b能与直线c平行吗?为什么?解：不能.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
2.平行线的判定
要判定两条直线是否平行，我们无法看到这两条直线在无限延长的过程中是否永远不相交.那么从前面画平行线的过程，我们可以得到什么启示呢?
在图4.2.2所示的画图过程中，三角板沿着直尺的方向由原来的位置移动到另一个位置，三角板紧靠直尺的一边和紧靠直线a的一边所成的角在移动前的位置与移动后的位置构成了一对同位角，其大小始终没变，因此，只要保持同位角相等，就可以保证画出的直线与已知直线的方向一致，即平行于已知直线.
于是，可以得到如下关于平行线的又一个基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简写成：同位角相等，两直线平行.
例如，如图4.2.5，直线a、b被直线l所截，如果∠1＝∠2、那么a∥b.
除了同位角，我们能否依据内错角或同旁内角判定两条直线平行呢?
如图4.2.5，如果内错角相等，即∠2＝∠3，由于∠1＝∠3，因此就有∠1＝∠2，于是根据“同位角相等，两直线平行”，可得a∥b.这就是说：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简写成：内错角相等，两直线平行.
我们还可以得到：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简写成：同旁内角互补，两直线平行.你能说明其中的理由吗?
你能说明其中的理由吗?如图所示，直线a，b被直线l所截，如果∠1＋∠2＝180°，那么a∥b.理由如下：因为∠1＋∠3＝180°，∠1＋∠2＝180°，所以∠3＝∠2，所以a∥b(同位角相等，两直线平行).
概括平行线的判定方法：1.同位角相等，两直线平行；2.内错角相等，两直线平行；3.同旁内角互补，两直线平行.
思考我们已经知道利用尺规作图可以作一条线段等于已知线段，以及作一个角等于已知角的方法，那么，如何过已知直线外一点作该直线的平行线呢?
由平行线的判定方法，你自然会想到在直线AB和直线外一点P处，设法如图4.2.6那样构造一对相等的同位角∠1和∠2，那样就可以作出所需要的平行线了.
由此，你能发现利用尺规作图过已知直线外一点作该直线的平行线的方法吗?
如图4.2.7，已知直线AB，以及直线AB外一点P，试利用尺规作图按下列作法准确地过点P作直线AB的平行线：(1)在直线AB上取一点Q，经过点P和点O，作直线MN；
(2)作∠MPD＝∠POB，并使得∠MPD与∠POB是一对同位角；(3)反向延长射线PD，得到直线CD.直线CD就是过点P所要求作的直线AB的平行线.借助“内错角相等”，是否也可以作出所需要的平行线呢?
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