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8.6空间直线、平面的垂直
8.6空间直线、平面的垂直
8.6.1直线与直线垂直
例1如图8.6-3，已知正方体.
（1）哪些棱所在的直线与直线垂直？
（2）求直线与所成的角的大小.
（3）求直线与所成的角的大小.
解：（1）棱，，，，，，，所在直线分别与直线垂直.
（2）因为是正方体，所以，因此为直线与所成的角.又因为，所以直线与所成的角等于45°.
（3）如图8.6-4，连接.因为是正方体，所以.从而四边形是平行四边形，所以.于是为异面直线与所成的角.
连接，易知是等边三角形，所以.从而异面直线与所成的角等于60°.
例2如图8.6-5（1），在正方体中，为底面的中心.求证.
分析：要证明，应先构造直线与所成的角，若能证明这个角是直角，即得.
证明：如图8.6-5（2），连接.
∵是正方体，
∴.
∴四边形是平行四边形.
∴.
∴直线与所成的角即为直线与所成的角.
连接，，易证.
又为底面的中心，
∴为的中点，
∴，
∴.
练习
1．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”．
1．如果两条平行直线中的一条与已知直线垂直，那么另一条也与已知直线垂直．()
2．垂直于同一条直线的两条直线平行．()
3．如图，在长方体的各条棱所在直线中，
（1）与直线AB垂直的直线有__________条；
（2）与直线AB异面且垂直的直线有__________条；
（3）与直线AB和都垂直的直线有__________条；
（4）与直线AB和都垂直且相交的直线是直线__________．
4．如图，在长方体中，，，求：
（1）直线和所成的角的大小；
（2）直线和所成的角的大小.
5．如图，在正三棱柱中，D为棱的中点，，求证.
8.6.2直线与平面垂直
例3求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.
已知：如图8.6-12，，，求证.
分析：要证明直线，根据直线与平面垂直的判定定理可知，只需证明直线b垂直于平面内的两条相交直线即可.
证明：如图8.6-13，在平面内取两条相交直线m，n.
∵直线，
∴，.
∵，
∴，.
又，，m，n是两条相交直线，
∴.
例4如图8.6-15，在正方体中，求直线和平面所成的角.
分析：关键是找出直线在平面上的射影.
解：连接，，与相交于点O，连接.
设正方体的棱长为a.
∵，，，
∴平面.
∴.
又，
∴平面.
∴为斜线在平面上的射影，为和平面所成的角.
在中，，，
∴.
∴.
∴直线和平面所成的角为30°.
练习
6．如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？
7．如图，四棱锥的底面是正方形，平面，求证：平面.
8．如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足什么条件时，？
??
9．过所在平面外一点P，作，垂足为O，连接.（1）若，则点O是的______心.（2）若，，则点O是边的______.（3）若，，，垂足都为P，则点O是的_____心.
例5如图8.6-19，直线l平行于平面，求证：直线l上各点到平面的距离相等.
证明：过直线l上任意两点A，B分别作平面的垂线，，垂足分别为，.
∵，，
∴.
设直线，确定的平面为，.
∵，
∴.
∴四边形是矩形.
∴.
由A，B是直线l上任取的两点，可知直线l上各点到平面的距离相等.
例6推导棱台的体积公式
，
其中，S分别是棱台的上、下底面面积，h是高.
解：如图8.6-20，延长棱台各侧棱交于点P，得到截得棱台的棱锥.过点P作棱台的下底面的垂线，分别与棱台的上、下底面交于点，O，则垂直于棱台的上底面（想一想，为什么？），从而.
设截得棱台的棱锥的体积为V，去掉的棱锥的体积为、高为，则.于是
，.
所以棱台的体积
.
由棱台的上、下底面平行，可以证明棱台的上、下底面相似，并且
所以.
代入①，得
.
练习
10．已知直线和平面，若，，则与的位置关系是______.
11．已知两点在平面的同侧，且它们与的距离相等，求证：直线.
12．如图，和都垂直于平面，且，F是的中点，求证：平面.
??
13．求证：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.（提示：过这条直线作平面与这两个平面相交，则它们的交线平行.）
8.6.3平面与平面垂直
例7如图8.6-27所示，在正方体中，求证：平面平面.
分析：要证平面平面，根据两个平面垂直的判定定理，只需证明平面经过平面的一条垂线即可.这需要利用，是正方形的对角线.
证明：∵是正方体，
∴平面，
∴.
又，
∴平面，
∴平面平面.
例8如图8.6-28，是的直径，垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点..求证：平面平面.
分析：要证明