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7.4二项分布与超几何分布
第七章随机变量及其分布
7.4二项分布与超几何分布
7.4.1二项分布
例1将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：
（1）恰好出现5次正面朝上的概率；
（2）正面朝上出现的频率在内的概率.
分析：抛掷一枚质地均匀的硬币，出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果且可能性相等，这是一个10重伯努利试验.因此，正面朝上的次数以从二项分布.
解：设“正面朝上”，则.用X表示事件A发生的次数，则.
（1）恰好出现5次正面朝上等价于，于是
；
（2）正面朝上出现的频率在内等价于.于是
.
例2如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列.
分析：小球落入哪个格子取决于在下落过程中与各小木钉碰撞的结果.设试验为观察小球碰到小木钉后下落的方向，有“向左下落”和“向右下落”两种可能结果，且概率都是0.5.在下落的过程中，小球共碰撞小木钉10次，且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影响，因此这是一个10重伯努利试验.小球最后落入格子的号码等于向右落下的次数，因此X服从二项分布.
解：设“向右下落”，则“向左下落”，且.因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以.于是，X的分布列为
，，1，2，…，10.
X的概率分布图如图所示.
例3甲?乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更看利？
分析：判断哪个赛制对甲有利，就是看在哪个赛制中用最终获胜的概率大.可以把“甲最终获胜”这个事件，按可能的比分情况表示为若干事件的和，再利用各局比赛结果的独立性逐个求概率；也可以假定赛完所有n局，把n局比赛看成n重伯努利试验，利用二项分布求“甲最终获胜”的概率.
解法1：采用3局2―制，甲最终获胜有两种可能的比分2∶0或2∶1，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲?乙各胜一局且第3局甲胜.因为每局比赛的结果是独立的，甲最终获胜的概率为
.
类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3∶0，3∶1或3∶2.因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为
.
解法2：采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则.甲最终获胜的概率为
.
采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数，则.甲最终获胜的概率为
.
因为，所以5局3胜制对甲有利.实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利.
练习
1．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数.
（1）求X的分布列；
（2）________，________.
2．鸡接种一种疫苗后，有80%不会感染某种病毒.如果5只鸡接种了疫苗，求：
（1）没有鸡感染病毒的概率；
（2）恰好有1只鸡感染病毒的概率.
3．判断下列表述正确与否，并说明理由：
（1）12道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数；
（2）100件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，其中的次品数.
4．举出两个服从二项分布的随机变量的例子.
7.4.2超几何分布
例4从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率.
解：设X表示选出的5名学生中含甲的人数（只能取0或1），则X服从超几何分布，且，，.因此甲被选中的概率
.
例5一批零件共有30个，其中有3个不合格.随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率.
解：设抽取的10个零件中不合格品数为X，则X服从超几何分布，且，，.X的分布列为
，，1，2，3.
至少有1件不合格的概率为
.
也可以按如下方法求解；
.
例6一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球?60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数.
（1）分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；
（2）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率：
分析：因为只有两种颜色的球，每次摸球都是一个伯努利和试验.摸出20个球，采用有放回摸球，各次试验的结果相互独立，；上采用不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布.
解：（1）对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.4，且各次试验之间的结果是独立的，因此，X的分布列为
，，1，2，…，20.
对于不放回摸球，各次试验的结果不