;;;(2)(2023·全国甲卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是____________.;(2)设球O的半径为R.当球O是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球O的半径最大．若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点．;台体的外接球问题;锥体的外接球问题;A．3π B．4π

C．9π D．12π;;求解外接球问题的方法

(1)解决多面体外接球问题的关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面多边形外接圆的圆心，再过此圆心作垂直于此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点的情况确定球心的准确位置．

(2)对于特殊的多面体还可以通过补成正方体、长方体或直棱柱的方法找到球心的位置．;[跟进训练]

1．(1)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为();(2)(2024·南京二模)三星堆古遗址作为“长江文明之源”，被誉为人类最伟大的考古发现之一.3号坑发现的神树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据．玉琮是古人用于祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代“天圆地方”观念，是天地合一的体现．假定某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，圆柱的高为12cm，圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球O上，则球O的表面积为()

A．72πcm2 B．162πcm2

C．216πcm2 D．288πcm2;(3)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为________.

(1)A(2)C(3)61π[(1)如图所示，设球的半径为R，底面中心为O′且球心为O，;A．3π B．5π

C．8π D．9π

(2)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为____________________.;“切”的问题处理规律

(1)找准切点，通过作过球心的截面来解决．

(2)体积分割是求内切球半径的通用方法．;[跟进训练]

2．(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是();考点三与球有关的截面问题;巧用直角三角形解决截面圆问题的步骤

(1)确定球心O和截面圆的圆心O′.

(2)探求球的半径R和截面圆的半径r.

(3)利用OO′2＋r2＝R2计算相关量．;[跟进训练]

3．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高是8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，那么球的体积为();;√;[赏析]突破点1：发现垂直关系，如下①②处

如图，取PC的中点O，连接OA，OB，由题意得PA⊥BC①，

又因为AB⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，

所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB②.;突破点2：得出四点在同一个球面上;到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点的距离也是半径，列出关系式求解即可．;√;如图，取PD的中点O，连接OA，OC，由直角三角形的性质可得，;二、交轨法确定球心;突破点2：寻找△PBC的外心，交轨法得球心

又△ABC是以BC为斜边的直角三角形，所以直线MN上任意一点到A，B，C的距离都相等．

在平面PBC内作线段PB的垂直平分线DE，设DE与MN的交点为O，则点O到P，A,B，C的距离都相等，即点O为三棱锥P-ABC外接球的球心，

且O也是△PBC的外心．

因此三棱锥P-ABC外接球的半径与△PBC的外接圆半径相等．;[答案]10π;分别过几何体的两个相交平面的外接圆的圆心作各自所在平面的垂线，垂线的交点就是球心．;[跟进训练]

2．(2025·日照模拟)已知A，B是球O的球面上两点，AB＝2，过AB作互相垂直的两个平面截球得到圆O1和圆O2.若∠AO1B＝90°，∠AO2B＝60°，则球O的表面积为()

A．5π B．10π

C．15π D．20π;;谢谢！