;;[考试要求]能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.;;术语名称;一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)东北方向就是北偏东45°的方向．()

(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.()

(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．();二、教材经典衍生

1．(人教A版必修第二册P49例9改编)如图，在河岸AC测量河的宽度，测量下列四组数据，较适宜的是()

A．a，c，α

B．b，c，α

C．c，a，β

D．b，α，γ;2．(人教A版必修第二册P51练习T1改编)一艘轮船以18nmile/h的速度沿北偏东40°的方向直线航行，在行驶到某处时，该轮船南偏东20°方向上10nmile处有一灯塔，继续行驶20min后，轮船与灯塔的距离为()

A．17nmile B．16nmile

C．15nmile D．14nmile;3．(人教A版必修第二册P50例10改编)如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于();法二：因为∠ACB＝45°，所以∠ACD＝135°，

所以∠CAD＝180°－135°－30°＝15°.;4．(人教A版必修第二册P53T8改编)如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个点C和D，测得CD＝200m，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，则塔高AB＝______m.;200[在Rt△ABC中，∠ACB＝45°.

设AB＝h，则BC＝h，;;解：(1)在△ABD中，因为∠DAC＝75°，∠CAB＝45°，所以∠DAB＝120°.

又∠DBA＝30°，所以∠ADB＝30°，

所以△ABD为等腰三角形，所以AB＝AD＝50m.

由余弦定理可得;距离问题的解题思路

这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．

提醒：①基线的选取要恰当；②选取的三角形及正弦、余弦定理的应用要恰当．;[跟进训练]

1．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上的B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且A，B，C，D四点共圆，则AC的长为____km.;7[因为A，B，C，D四点共圆，圆内接四边形的对角和为π，所以B＋D＝π，

所以由余弦定理可得

AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcosD

＝52＋32－2×5×3cosD＝34－30cosD，

AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB

＝52＋82－2×5×8cosB＝89－80cosB，

因为B＋D＝π，即cosB＝－cosD，;考点二测量高度问题;C[由题意可得∠AEB＝75°，∠CED＝30°，则∠AEC＝75°，∠ACE＝60°，∠CAE＝45°.;解决高度问题的三个注意事项

(1)要理解仰角、俯角的定义．

(2)在实际问题中可能会遇到空间与平面(底面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形．

(3)注意山或塔垂直地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．;[跟进训练]

2．如图，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在A，B，C三处测得道路一侧山顶P的仰角依次为30°，45°，60°，其中AB＝a，BC＝b(0＜a＜3b)，则此山的高度为();D[如图，设点P在地面上的正投影为点O，则∠PAO＝30°，∠PBO＝45°，∠PCO＝60°，;考点三测量角度问题;解决角度问题的三个注意事项

(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义．

(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦值或余弦值．

(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中要注意体会正、余弦定理综合使用的优点．

提醒：理解仰角、俯角、方向角、方位角，正确画图是解题的关键．;[跟进训练]

3．(1)如图所示，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝60m，BC＝120m，于A处测得水深AD＝120m，于B处测得水深BE＝200m，于C处测得水深CF＝150m，则cos∠DEF＝____________.;(2)如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40nmil