专题9指数和对数
知识必备
1根式的性质
（1）nan=a
（2）当n为奇数时，nan=a；当n
2分数指数幂
（1）正分数指数幂：am
（2）负分数指数幂：am
（3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
3实数指数幂的运算性质
（1）ar
（2）as
（3）abr
4对数的概念及运算
（1）对数的定义
一般地，如果ax=N（a0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN
对于logaN（a0
①当a=10时，叫做常用对数，记做lgN；
②当a=e时，叫做自然对数，记做lnN（e为无理数，e≈271828
（2）对数与指数的关系
当（a0且a≠1）时，a
形式
关系式
a
b
N
指数式
a
底数a0，a≠1
指数b∈R
幂（值）N∈
对数式
log
底数a0，a≠1
对数b∈R
真数N∈
（3）对数的基本性质
根据对数的定义，对数logaN（a0且
（1）负数和0没有对数，即N0.
②1的对数等于0，即loga
③底的对数等于1，即loga
④alog
⑤loga
（4）对数的运算法则
如果a0，且a≠1，M0，N0，那么：
①logaMN
②loga
③loga
④对数的换底公式logab=logcb
⑤常用推论：loga
典型例题
考点一指数蓂的运算
【例题1】（1）0027
（2）1
【例题2】化简a3
Aba Bab
Cab Da2
【例题3】（1）已知a12a
（2）已知a1a=4
【例题4】设2a=5b=m
A10 B10
C10或10 D10
考点二对数运算
【例题5】计算：
（1）2lg5
（2）4log23
（3）2
（4）lg
【例题6】计算：（1）log2
（2）log2
（3）log4
【例题7】已知lg3=a，lg7=b，则lg3
Aab2 Ba
Cb2a Da
【例题8】设a=lg2，b=lg3，则log815=__________（用a，b
【例题9】当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量y随时间t（单位：年）的变化规律可用函数y=12t5730大致刻画，即大约经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”根据此规律，考古学家用仪器探测到某死亡生物体内的碳14含量仅为死亡时的
A2500年前 B11600年前
C13200年前 D28200年前
【例题10】19世纪美国天文学家西蒙纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高约半个世纪后，物理学家本福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为Pbn=logbn1n，如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性若n=k20
A2 B3
C4 D5
考点三指对数综合运算
【例题11】已知2a=3b=
【例题12】若alog2
【例题13】若实数x，y满足xy0，且log2xlog