第1章有理数
1.3数轴
在小学阶段，我们可以用直线上依次排列的点来表示自然数。引入负数后，能否用类似的方式表示有理数呢?
某数学活动小组参加绘制地铁线路图的活动，任务是绘制我国首条地铁线路——北京地铁1号线的线路图。他们发现该地铁线东西走向，并测得王井站和建国门站分别位于天安门西站东侧1.8km和3.8km处，西单站位于天安门西站西侧1.2km处。你能画图表示它们的位置吗?
如图1.3-1，画一条直线表示北京地铁1号线，从左到右表示从西到东的方向。图1.3-1西东
在直线上取一点O表示天安门西站的位置，规定1个单位长度(线段OA长)代表1km的长度。图1.3-1西东OA天安门西站
在点O的右侧，与点O的距离为1.8个单位长度和3.8个单位长度的点B和点C，分别表示王府井站和建国门站的位置；在点的左侧，与点O的距离为1.2个单位长度的点D表示西单站的位置。图1.3-1西东OA天安门西站B1.83.8王府井站C建国门站1.2D西单站
如何用数表示西单站、王府井站、建国门站和天安门西站的相对位置?
如图1.3-2，天安门西站的位置用0表示，规定向东为正，那么西单站的位置可以用－1.2表示，王府井站的位置可以用1.8表示，建国门站的位置可以用3.8表示。
图1.3-3①如图1.3-3，画一条直线(一般把它画成水平的)，在这条直线上任意取一点表示数0，这个点叫作原点；用直线上的点可以表示正数、0和负数，具体做法如下：0
②规定自原点开始一侧的方向为正方向(习惯上取向右的方向为正方向)，那么另一侧的方向就是负方向；图1.3-30
图1.3-30③选取适当的长度作为单位长度。单位长度：
图1.3-30按照取定的单位长度，直线上从原点向正方向，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，···；从原点向负方向，用类似的方法依次表示－1，－2，－3，···。单位长度：-5-4-3-2-112345
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴(numberaxis)。建立了数轴，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示出来。
例画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：?解：如图1.3-4所示。
1.写出下图中数轴上的点A，B，C，D，E表示的有理数：解：点A表示－5，点B表示－2，点C表示0，点D表示3，点E表示5.
?解：如图所示。
习题1.3
?复习巩固1.如图，写出数轴上的点A，B，C，D，E表示的有理数：解：点A表示－3.5，点B表示－2，点C表示－1，点D表示1.5，点E表示3.
?解：如图所示。
?拓展延伸3.点A在数轴上距原点4个单位长度，且位于原点左侧。若一个点从点A向右移动5个单位长度，再向左移动3个单位长度到达点B，写出点B所表示的数。解：点B表示的数是－2。
?探索创新4.小亮、小莹、大刚三位同学的家和学校都在一条东西走向的马路上。小莹家在学校东侧1.2km处，大刚家在小莹家西侧3km处，小亮家在小莹家东侧0.8km处。以学校为原点，以向东为正方向建立数轴，分别写出表示三位同学家和学校的点所表示的数。如果以小莹家为原点，以向东为正方向呢(1个单位长度表示实际距离1km)?
解：当以学校为原点时，小亮家表示＋2，小莹家表示＋1.2，学校表示0，大刚家表示－1.8。当以小莹家为原点时，小亮家表示＋0.8，小莹家表示0，学校表示－1.2，大刚家表示－3.
认识负数的历史有关正负数的意义和正负数加减运算的记载，最早出现在《九章算术》中。其中的“方程”一章明确引进了负数，并给出了正数、负数的加减运算法则，称为“正负术”。这是世界数学史上第一次突破了正数的范围，对数学的发展作出了巨大贡献。
3世纪，我国魏晋时期的数学家刘徽(生卒年不详)给《九章算术》作注时，进一步给出了正数、负数的定义:两算得失相反，要令“正”“负”以名之。正算赤，负算黑。否则以邪正为异。意思是说，在计算过程中遇到具有相反意义的量，要用正数和负数来区分它们，并用红色算筹(用于算数的小棒)表示正数，黑色算筹表示负数。如果使用同色的算筹，正列的算筹表示正数，斜列的算筹表示负数。13世纪我国金元时期的数学家李冶(1192-1279)首创了在算筹的个位数上用斜线画一杠表示负数的方法，这是世界上最早的负数记号。
国外最先提到负数的是7世纪印度的数学家婆罗摩笈多(Brahmagupta，约598-约660)。大约在628年，他提出了负数的运算法则，并用小点或小圈记在数字上方表示负数。许多西方数学家虽然在数学理论研究中遇到过负数，但是并不理解，认为