4．4对数函数
第四章指数函数与对数函数
4．4对数函数
4.4
例1求下列函数的定义域：
（1）；
（2）（，且）.
解：（1）因为，即，所以函数的定义域是.
（2）因为，即，所以函数的定义域是.
例2假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过y年后的物价为x.
（1）该地的物价经过几年后会翻一番？
（2）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律.
解：（1）由题意可知，经过y年后物价x为，即（）.
由对数与指数间的关系，可得，.
由计算工具可得，当时，.
所以，该地区的物价大约经过14年后会翻一番.
（2）根据函数，，利用计算工具，可得下表：
由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，但大约每增加1倍所需要的时间在逐渐缩小.
例3比较下列各题中两个值的大小：
（1），；
（2），；
（3），（，且）.
解：（1）和可看作函数的两个函数值.因为底数，对数函数是增函数，且，所以.
（2）和可看作函数的两个函数值.因为底数，对数函数是减函数，且，所以.
（3）和可看作函数的两个函数值.对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论.
当时，因为函数是增函数，且，所以；
当时，因为函数是减函数，且，所以.
例4溶液酸碱度的测量.
溶液酸碱度是通过计量的.的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.
（1）根据对数函数性质及上述的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；
（2）已知纯净水中氢离子的浓度为摩尔/升，计算纯净水的.
解：（1）根据对数的运算性质，有.
在上，随着的增大，减小，相应地，也减小，即减小.所以，随着的增大，减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强.
（2）当时，.所以，纯净水的是7.
练习
1．求下列函数的定义域：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
2．画出下列函数的图象：
（1）；
（2）.
3．已知集合，集合，下列函数能体现集合A与集合B一一对应关系的是__________.
①；②；③；④.
4．4．2对数函数的图象和性质
练习
4．在同一直角坐标系中画出函数和的图象，并说明它们的关系.
5．比较下列各题中两个值的大小：
（1）；
（2）；
（3）.
6．某地去年的GDP（国内生产总值）为3000亿元人民币，预计未来5年的平均增长率为6.8%.
（1）设经过年达到的年GDP为亿元，试写出未来5年内，关于的函数解析式；
（2）经过几年该地GDP能达到3900亿元人民币？
4．4．3不同函数增长的差异
练习
7．三个变量随变量变化的数据如下表：
0
5
10
15
20
25
30
5
130
505
1130
2005
3130
4505
5
90
1620
29160
524880
9447840
170061120
5
30
55
80
105
130
155
其中关于呈指数增长的变量是_____
8．（1）（2）（3）分别是函数和在不同范围的图象，借助计算工具估算出使的的取值范围（精确到0.01）.
（1）（2）（3）
9．如图，对数函数的图象与一次函数的图象有A，B两个公共点，求一次函数的解析式.
10．函数的图象如图所示，则可能是（????）
A．
B．
C．
D．
习题4．4
复习巩固
11．求下列函数的定义域:
(1);
(2).
12．比较满足下列条件的两个正数m,n的大小:
(1);
(2);
(3);
(4).
13．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量M（单位：）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：）的函数关系表达式为.当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可以达到12？
14．函数，，的图象如图所示，
(1)试说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什么；
(2)以已有图象为基础，在同一直角坐标系中画出，，的图象；
(3)从（2）的图中你发现了什么？
15．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2000m,游回产地产卵,研究链鱼的科学家发现链鱼的游速,(单位:)可以表示为,其中O表示鱼的耗氧量的单位数.
(1)当一条鱼的耗氧量是2700个单位时,它的游速是多少?
(2)计算一条鱼静止时耗氧量的单位数.
16．在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减.下面能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（????）
A． B．
C． D．
综合运用
17．判断下列各对函数是否互为反函数,若是,则求出它们的定义域和值域:
(1);
(2).
18．设表示某学校男生身高为时平均体重为,
(1)如果函数的反函数是,那么表示什么?
(2)如果,那么求,并说