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4．2指数函数
第四章指数函数与对数函数
4.2指数函数
例1已知指数函数（，且），且，求，，的值.
分析：要求，，的值，应先求出的解析式，即先求a的值.
解：因为，且，则，解得，于是.
所以，，，.
例2（1）在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况.
（2）在问题2中，某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？
解：（1）设经过x年，游客给A，B两地带来的收入分别为和，则
，
.
利用计算工具可得，
当时，.
当时，.
结合图可知：
当时，，
当时，.
当时，.
这说明，在2001年，游客给A地带来的收入比B地多412000万元；随后10年，虽然，但的增长速度大于；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2011年2月某个时刻就有，这时游客给A地带来的收入和B地差不多；此后，，游客给B地带来的收入超过了A地；由于增长得越来越快，在2015年，B地的收入已经比A地多347303万元了.
（2）设生物死亡x年后，它体内碳14含量为.
如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么.
当时，利用计算工具求得.
所以，生物死亡10000年后，它体内碳14含量衰减为原来的约30%.
例3比较下列各题中两个值的大小：
（1），；
（2），；
（3），.
分析：对于（1）（2），要比较的两个值可以看作一个指数函数的两个函数值，因此可以直接利用指数函数的单调性进行比较；对于（3），和不能看作某一个指数函数的两个函数值.可以利用函数和的单调性，以及“时，”这条性质把它们联系起来.
解：（1）和可看作函数当x分别取2.5和3时所对应的两个函数值.
因为底数，所以指数函数是增函数.
因为，所以.
（2）同（1）理，因为，所以指数函数是减函数.
因为，所以.
（3）由指数函数的性质知，，
所以.
例4如图，某城市人口呈指数增长.
（1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）；
（2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？
分析：（1）因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期.
（2）要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与倍增期的数量关系.
解：（1）观察图，发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年.
（2）因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番.因此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人.
4.2.1指数函数的概念
练习
1．下列图象中，有可能表示指数函数的是（????）
A． B．
C． D．
2．已知函数，且，，求函数的一个解析式.
3．在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，那么经过30天，该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍？（可以使用计算工具）
4.2.2指数函数的图象和性质
练习
4．在同一直角坐标系中画出函数和的图象，并说明它们的关系.
5．比较下列各题中两个值的大小：
（1）；
（2）；
（3）.
6．体内癌细胞初期增加得很缓慢，但到了晚期就急剧增加，画一幅能反映体内癌细胞数量随时间变化的示意图.
习题4.2
复习巩固
7．求下列函数的定义域：
（1）；（2）；（3）；（4）.
8．一种产品原来的年产量是a件，今后m年内，计划使产量平均每年比上一年增加，写出年产量y（单位：件）关于经过的年数x的函数解析式.
9．比较满足下列条件的m，n的大小：
（1）；????（2）；
（3）；（4）.
10．设函数，且.
（1）求函数的增长率r；（2）求的值.
综合运用
11．求下列函数可能的一个解析式：
（1）函数的数据如下表：
x
0
1
2
3.50
4.20
5.04
（2）函数的图象如图：
12．比较下列各题中两个值的大小：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
13．当死亡生物组织内碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了.如果死亡生物组织内的碳14经过九个“半衰期”后，那么用一般的放射性探测器能测到碳14吗？
14．按复利计算利息的一种储蓄，本金为a（单位：元），每期利率为r，本利和为y（单位：元），存期数为x.
（1）写出本利和y关于存期数x的函数解析式；
（2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和.
拓广探索
15．已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线