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1.3空间向量及其运算的坐标表示
第一章空间向量与立体几何
1.3空间向量及其运算的坐标表示
1.3.1空间直角坐标系
例1如图1.3-6，在长方体中，，，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．
图1.3-6
（1）写出，C，，四点的坐标；
（2）写出向量，，，的坐标．
解：（1）点在z轴上，且，所以．
所以点的坐标是．
同理，点C的坐标是．
点在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，O，，它们在坐标轴上的坐标分别为3，0，2，所以点的坐标是．
点在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，C，，它们在坐标轴上的坐标分别为3，4，2，所以点的坐标是．
（2）；
；
；
．
练习
1．在空间直角坐标系中标出下列各点：
，，，．
2．在空间直角坐标系Oxyz中，
（1）哪个坐标平面与x轴垂直？哪个坐标平面与y轴垂直？哪个坐标平面与z轴垂直？
（2）写出点在三个坐标平面内的射影的坐标．
（3）写出点关于原点成中心对称的点的坐标．
3．在长方体中．，，，与相交于点P，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz．
（1）写出点C，，P的坐标；
（2）写出向量，的坐标．
4．已知点B是点在坐标平面Oxy内的射影，求．
1.3.2空间向量运算的坐标表示
例2如图1.3-8，在正方体中，E，F分别是，的中点．求证：．
图1.3-8
分析：要证明，只要证明，即证．我们只要用坐标表示，，并进行数量积运算即可．
证明：不妨设正方体的棱长为1，建立如图1.3-8所示的空间直角坐标系，则
，，
所以．
又，，
所以．
所以．
所以，即．
例3如图1.3-9，在棱长为1的正方体中，M为的中点，，分别在棱，上，，．
图1.3-9
（1）求的长．
（2）求与所成角的余弦值．
分析：（1）利用条件建立适当的空间直角坐标系，写出点A，M的坐标，利用空间两点间的距离公式求出的长．（2）与所成的角就是，所成的角或它的补角．因此，可以通过，的坐标运算得到结果．
解：（1）建立如图1.3-9所示的空间直角坐标系，则点A的坐标为，点M的坐标为．
于是．
（2）由已知，得
，，，，
所以，
，
，．
所以
．
所以
所以，与所成角的余弦值是．
练习
5．已知，，求：
（1）；????
（2）；????
（3）；????
（4），
6．已知，，且，求x的值．
7．在z轴上求一点M，使点M到点与点的距离相等．
8．如图，正方体的棱长为a、点N，M分别在AC，上，，，求MN的长．
9．如图，在正方体中，M是AB的中点，求与CM所成角的余弦值．
习题1.3
复习巩固
10．在空间直角坐标系Oxyz中，三个非零向量，，分别平行于x轴、y轴、z轴，它们的坐标各有什么特点？
11．是空间直角坐标系Oxyz中的一点，写出满足下列条件的点的坐标；
（1）与点M关于轴对称的点；
（2）与点M关于y轴对称的点；
（3）与点M关于z轴对称的点；
（4）与点M关于原点对称的点．
12．如图，正方体的棱长为a，E，F，G，H，I，J分别是棱，，，AB，BC，的中点，写出正六边形EFGHIJ各顶点的坐标．
13．先在空间直角坐标系中标出A，B两点，再求它们之间的距离：
(1)，；
(2)，．
14．已知，，．求：
（1）；????????
（2）．
综合运用
15．求证：以A（4，1，9），B（10，–1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形．
16．已知，，求，，线段AB的中点坐标及线段AB的长．
17．如图，在正方体中，M，N分别为棱和的中点，求CM和所成角的余弦值．
18．是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量．