15.4等腰三角形第2课时

2.能用等腰三角形的性质进行几何图形中的计算.3.能用等腰三角形的性质解决几何问题中的证明.4.经历用等腰三角形的性质证明“HL”定理的过程.◎重点:用等腰三角形的性质进行计算和证明.◎难点:“三线合一”的理解.1.知道等腰三角形“三线合一”的特性.

等腰三角形的性质?阅读教材本课时相关内容，解决下列问题.等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边，即等腰三角形顶角的平分线、底边的中线和底边的高三线合一.?垂直平分底边的中线底边的高

1.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，以下结论中错误的是(B)A.△ABD≌△ACDB.∠B＝∠BADC.D为BC的中点D.AD是△ABC的角平分线2.在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，且BD＝CD.若∠BAC＝100°，则∠CAD＝50°.?B50°

3.下列说法不．正．确．的是(D)A.等腰三角形底边的高平分底边，平分顶角B.等腰三角形底边的中线垂直底边，平分顶角C.等腰三角形顶角的平分线垂直底边，平分底边D.等腰三角形底边的中垂线不一定平分顶角D

【变式训练】如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD＝30°.?30

等腰三角形及其推论的有关证明4.如图，在△ABC中，AB＝AC，P是BC的中点，Q为AP延长线上一点，且∠1＝∠2，求证:QM＝QN.证明:∵AB＝AC，P为底边BC的中点，AP⊥BC，即∠MPQ＝∠NPQ＝90°，又∠1＝∠2，PQ＝PQ，∴△PQM≌△PQN.∴QM＝QN.

1.如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AD是BC边上的中线，CE平分∠BCA交AB于点E，AD、CE相交于点F，则∠CFA的度数是(C)A.100°B.105°C.110°D.120°C

2.如图，在△ABC中，AB＝AC，AF⊥BC，点D在BA的延长线上，点E在AC上，且AD＝AE，试探索DE与AF的位置关系，并证明你的结论.

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【方法归纳交流】等腰三角形底边中线、顶角平分线、底边上高，三线合一，在证明或计算中，一定要记得使用，因为不需要再添辅助线，这条线本身就具有多重“身份”.学法指导:等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边与角之间的关系，由两边相等推导出两角相等是证明两角相等常用的依据之一.等腰三角形的“三线合一”性质是证明两条线段相等、两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据，作高(或者顶角平分线、底边中线)是常用辅助线.

黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度比为黄金比值.顶角是36°的黄金三角形按任意一底角的角平分线分成两个小等腰三角形，且其中一个等腰三角形的底角是另一个的2倍.顶角是108°的黄金三角形把顶角分成一个72°和一个36°的角，这条分线也把黄金三角形分成两个小等腰三角形，且其中一个等腰三角形的底角也是另一个的2倍.

1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，∠ACD＝20°，则∠A的度数是(A)A.50°B.40°C.30°D.20°A

2.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝8，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E.(1)证明:AE＝ED；(2)求线段DE的长.

解:(1)∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD.∵DE∥AC，∴∠ADE＝∠CAD，∴∠EAD＝∠ADE，∴AE＝DE.

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利用等腰三角形的性质进行计算1.如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连接AC、BC，若∠ABC＝54°，则∠1的大小为(C)A.36°B.54°C.72°D.73°C

2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，求∠OEC的度数.

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∵DO是AB的垂直平分线，AO为∠BAC的平分线，∴点O在BC的垂直平分线上(等腰三角形“三线合一”)，∴OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝36°.∵将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，∴OE＝CE，∴∠COE＝∠OCB＝36°，在△OCE中，∠OEC＝180°－∠COE－∠OCB＝180°－36°－36°＝108°.

3.如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝BE，求∠A的度数.?

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【方法归纳交流】解本类题的关键是先设未知数，再用等腰三角形的性质及三角形的内角和构建方程求解.

利用等腰三角形的性质进行证明4.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AC＝AB＋BD，求证:∠