课时分层作业(三十七)
(本试卷共92分．单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分．)
一、单项选择题
1．(2025·潍坊模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－1，S7＝5a4＋10，则S4
A．6 B．7
C．8 D．10
C[因为数列{an}为等差数列，则S7＝eq\f(7?a1＋a7?,2)＝eq\f(7×2a4,2)＝7a4，
又S7＝5a4＋10，则7a4＝5a4＋10，即a4＝5，则S4＝eq\f(4?a1＋a4?,2)＝eq\f(4?－1＋5?,2)＝8.
故选C．]
2．现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5L，最大的三只茶壶容积之和为2.5L，则从小到大第5只茶壶的容积为()
A．0.25L B．0.5L
C．1L D．1.5L
B[设九只茶壶按容积从小到大依次记为a1，a2，…，a9，
由题意可得a1＋a2＋a3＝0.5，a7＋a8＋a9＝2.5，
所以3a2＝0.5,3a8＝2.5，所以a2＋a
所以a5＝eq\f(a2＋a8,2)＝0.5.
故选B．]
3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若eq\f(S2025,2025)＝eq\f(S2024,2024)＋1且a1＝3，则()
A．an＝2n＋1 B．an＝n＋1
C．Sn＝2n2＋n D．Sn＝4n2－n
A[设等差数列{an}的公差为d，
因为Sn＝na1＋eq\f(n?n－1?,2)d，
所以eq\f(Sn,n)＝a1＋eq\f(n－1,2)·d＝eq\f(d,2)·n＋a1－eq\f(d,2)，
即eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列，公差为eq\f(d,2).
由eq\f(S2025,2025)－eq\f(S2024,2024)＝1，知eq\f(d,2)＝1?d＝2，
故an＝2n＋1，Sn＝eq\f(n?3＋2n＋1?,2)＝n2＋2n.
故选A．]
4．若2a＝3,2b＝6,2
A．a，b，c是等差数列 B．a，b，c是等比数列
C．eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)是等差数列 D．eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)是等比数列
A[因为2a＝3,2b＝6,2
所以a＝log23，b＝log26，c＝log212，
则2b＝a＋c，故a，b，c是等差数列．故A正确．]
5．已知两等差数列{an}，{bn}，前n项和分别是An，Bn，且满足eq\f(An,Bn)＝eq\f(2n＋1,3n＋2)，则eq\f(a6,b6)＝()
A．eq\f(13,20) B．eq\f(23,35)
C．eq\f(25,38) D．eq\f(27,41)
B[两等差数列{an}，{bn}，前n项和分别是An，Bn，满足eq\f(An,Bn)＝eq\f(2n＋1,3n＋2)，所以eq\f(a6,b6)＝eq\f(2a6,2b6)＝eq\f(a1＋a11,b1＋b11)＝eq\f(\f(a1＋a11,2)×11,\f(b1＋b11,2)×11)＝eq\f(A11,B11)＝eq\f(2×11＋1,3×11＋2)＝eq\f(23,35).故选B．]
6．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5S6，S6＝S7，S7S8，则下列结论错误的是()
A．a6＋a8＝0
B．S5＝S8
C．数列{an}是递减数列
D．S130
D[由S6＝S7，则S7－S6＝a7＝0，即a1＋6d＝a7＝0，
又a6＋a8＝2a7
S5＝eq\f(5?a1＋a5?,2)＝5a3，S8＝eq\f(8?a1＋a8?,2)＝eq\f(8?a2＋a7?,2)＝4a2，
则5a3－4a2＝a1＋6d＝0，故S5＝S8，故B
由S5S6，S7S8，即S6－S5＝a60，S8－S7＝a80，
所以d0，数列{an}是递减数列，故C正确；
S13＝13a7
故选D.]
7．数列{an}中，a1＝5，a2＝9，若数列{an＋n2}是等差数列，则{an}的最大项为()
A．9 B．11
C．eq\f(45,4) D．12
B[令bn＝an＋n2，又a1＝5，a2＝9，所以b2＝a2＋4＝13，b1＝a1＋1＝6，所以数列{an＋n2}的公差为13－6＝7，则an＋n2＝6＋7(n－1)＝7n－1，所以an＝－n2＋7n－1＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(7,2)))2＋eq\f(45,4)，又n∈N*，所以当n＝3或