课时分层作业(四十四)
(本试卷共77分．单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分．)
一、单项选择题
1．(2025·青岛模拟)已知直线a，b和平面α，a?α，b?α，则“a∥α”是“a∥b”的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
B[根据线面平行的判定定理可得，若a∥b，则a∥α，即必要性成立，
若a∥α，则a∥b不一定成立，故充分性不成立．
所以“a∥α”是“a∥b”的必要不充分条件．
故选B．]
2．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则必有()
A．BD1∥GH
B．BD∥EF
C．平面EFGH∥平面ABCD
D．平面EFGH∥平面A1BCD1
D[由中位线定理可知GH∥D1C，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以BD1，GH不可能互相平行，A错误；
由中位线定理可知EF∥A1B，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以BD，EF不可能互相平行，B错误；
由中位线定理可知EF∥A1B，而直线A1B与平面ABCD相交，故直线EF与平面ABCD也相交，故平面EFGH与平面ABCD相交，C错误；
由三角形中位线定理可知EF∥A1B，EH∥A1D1，且EF，EH?平面A1BCD1，A1B，A1D1?平面A1BCD1，所以EF∥平面A1BCD1，EH∥平面A1BCD1，而EF∩EH＝E，EF，EH?平面EFGH，因此平面EFGH∥平面A1BCD1.故选D.]
3．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，eq\f(PF,FC)＝()
A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,4)
C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)
D[连接AC交BE于点G，连接FG，因为PA∥平面EBF，PA?平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，所以PA∥FG，所以eq\f(PF,FC)＝eq\f(AG,GC).又AD∥BC，E为AD的中点，所以△AEG∽△CBG，即eq\f(AG,GC)＝eq\f(AE,BC)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(PF,FC)＝eq\f(1,2).
]
4．已知平面α∥平面β，P?α，P?β，过点P的两直线分别交α，β于A，B和C，D四点，A，C∈α，B，D∈β，且PA＝6，AB＝2，BD＝12，则AC的长为()
A．10或18 B．9
C．9或18 D．6
C[①如图1，当点P在BA延长线上，即点P在平面α的上方时，
因为α∥β，平面PAC∩α＝AC，平面PBD∩β＝BD，
所以AC∥BD，所以eq\f(PA,PB)＝eq\f(AC,BD).
因为PA＝6，AB＝2，BD＝12，
所以eq\f(6,8)＝eq\f(AC,12)，解得AC＝9.
②如图2，当点P在线段AB延长线上，即点P在平面β的上方时，
类比①中的证明方法，可得eq\f(PB,PA)＝eq\f(BD,AC)，
因为PA＝6，AB＝2，BD＝12，
所以eq\f(4,6)＝eq\f(12,AC)，解得AC＝18.
综上可得，AC的长为9或18.
故选C．]
5．(2025·昆明期中)如图是一个棱长为3的正四面体形状的木块，点P是△ABC的重心，过点P将木块锯开，并使得截面平行于AD和BC，则截面的面积为()
A．1 B．2
C．3 D．4
B[由题意可知，点P是△ABC的重心，如图，过点P作EF∥BC，
分别交AB，AC于点E，F，作FG∥AD交CD于点G，
设平面EFG与BD交于点H.
因为EF∥BC，BC?平面EFG，EF?平面EFG，所以BC∥平面EFG.
因为FG∥AD，AD?平面EFG，FG?平面EFG，
所以AD∥平面EFG，即四边形EFGH即为截面．
由于BC∥平面EFG，平面EFG∩平面BCD＝HG，BC?平面BCD，
所以BC∥HG，故HG∥EF.同理EH∥AD，所以FG∥EH，
故四边形EFGH为平行四边形．
设M为BC的中点，连接AM，DM，
则AM⊥BC，DM⊥BC，AM∩DM＝M，AM，DM?平面ADM，
故BC⊥平面ADM，AD?平面ADM，
故BC⊥AD，而EF∥BC，FG∥AD，故EF⊥FG，
即平行四边形EFGH为矩形．
因为点P是△ABC的重心，
所以AP＝eq\f(2,3)AM，AF＝eq\f(2,3)AC，
故EF＝eq\f(2,3)BC＝2，FG＝eq\f(1,3)AD＝1，
故矩形EFGH的面积为EF×FG＝2，即截面的面积为2.
故选B．]
二、多项选择题
6．如图是正方体的平面展开图