第1课时两个计数原理、排列与组合
[考试要求]1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.会用两个计数原理及排列、组合分析和解决一些简单的实际问题．
1．两个计数原理
分类加法
计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法
分步乘法
计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法
2．排列与组合的概念
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
组合
作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
3．排列数、组合数的定义、公式、性质
排列数
组合数
定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数
公式
Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)·(n－2)·…·(n－m＋1)＝eq\f(n！,?n－m?！)
Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(1,m！)[n·(n－1)·(n－2)·…·(n－m＋1)]＝eq\f(n！,m！?n－m?！)
性质
Aeq\o\al(n,n)＝n！，
0！＝1
Aeq\o\al(m,n)＝n·Aeq\o\al(m－1,n－1)
Ceq\o\al(n,n)＝1，Ceq\o\al(0,n)＝1
Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)
Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)
[常用结论]
排列数、组合数常用公式
(1)Aeq\o\al(m,n)＝(n－m＋1)Aeq\o\al(m－1,n).
(2)Aeq\o\al(m,n)＝nAeq\o\al(m－1,n－1).
(3)(n＋1)！－n！＝n·n！.
(4)kCeq\o\al(k,n)＝nCeq\o\al(k－1,n－1)，Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).
(5)Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m,n－1)＋…＋Ceq\o\al(m,m＋1)＋Ceq\o\al(m,m)＝Ceq\o\al(m＋1,n＋1).
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(×)
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(√)
(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(√)
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第三册P11习题6.1T2改编)如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路．则从甲地到丁地的不同路线共有()
A．12条 B．15条
C．18条 D．72条
C[若路线为甲乙丁，则有3×2＝6(条)；若路线为甲丙丁，则有3×4＝12(条)，故共有6＋12＝18(条)．故选C.]
2．(人教A版选择性必修第三册P19例4改编)从0,1,2,3,4,5这六个数字中选3个数字，可以组成的无重复数字的三位偶数的个数为()
A．52 B．56
C．48 D．72
A[当个位为0时，共有Aeq\o\al(2,5)＝5×4＝20(个)；当个位不为0时，共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,4)＝2×4×4＝32(个)，所以综合可得，无重复数字的三位偶数共有20＋32＝52(个)．故选A.]
3．(人教A版选择性必修第三册P27习题6.2T13改编)从2名女生，4名男生中选3人参加学科竞赛，且至少有1名女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字作答)
16[法一：可分两种情况：第一种情况，只有1名女生入选，不同的选法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＝12(种)；第二种情况，有2名女生入选，不同的选法有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)＝4(种)．根据分类加法计数原理知，至少有1名女生入选的不同的选法共有12＋4＝16(种)．
法二：从6人中任选3人，不同的选法共有Ceq\o\al(3,6)＝20(种)，从6人中任选3人都是男生，不同的选法有Ceq\o\al(3,4)＝4(种)，所以至少有1名女生入选的不同的选法共有20－4＝16(种)．]
4．(易错题)(人教A版选择性