第8课时向量法求距离及立体几何中的探索性、翻折问题

[考试要求]1.能用向量的方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题.2.掌握空间几何体中的探索性及翻折问题的求解方法．

1．点P到直线l的距离

设eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，u是直线l的单位方向向量，则向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(a·u)·u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝eq\r(\a\vs4\al(|\o(AP,\s\up6(→))|2－|\o(AQ,\s\up6(→))|2))＝eq\r(a2－?a·u?2).

提醒：点到直线的距离还可以用以下两种方式求解：

①d＝|eq\o(AP,\s\up6(→))|sinθ，其中θ为向量eq\o(AP,\s\up6(→))与直线l方向向量的夹角．

②d＝eq\r(\a\vs4\al(\o(AP,\s\up6(→))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AP,\s\up6(→))·μ,|μ|)))2))，其中μ为l的方向向量．

2．点P到平面α的距离

若平面α的法向量为n，平面α内一点为A，则平面α外一点P到平面α的距离d＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)，如图所示．

[常用结论]

1．平行线间的距离可以转化为点到直线的距离．

2．线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离．

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)点A到平面α的距离是点A与α内任意一点的线段的最小值．(√)

(2)点到直线的距离也就是该点与直线上任意一点连线的长度．(×)

(3)若直线l平行于平面α，则直线l上各点到平面α的距离相等．(√)

(4)若直线l上两点到平面α的距离相等，则l平行于平面α.(×)

二、教材经典衍生

(人教A版选择性必修第一册P35练习T2改编)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点，则：

(1)点B到直线AC1的距离为________；

(2)直线FC到平面AEC1的距离为________.

(1)eq\f(\r(6),3)(2)eq\f(\r(6),6)[(1)以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(1,0,1)，B(1,1,1)，C(0，1,1)，C1(0，1,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，0))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，1))，

所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,1,0)，eq\o(AC1,\s\up6(→))＝(－1,1，－1)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，－1))，eq\o(EC1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，0))，eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，0))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，0)).

取a＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,1,0)，u＝eq\f(\o(AC1,\s\up6(→)),|\o(AC1,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(3),3)(－1,1，－1)，则a2＝1，a·u＝eq\f(\r(3),3)，

所以点B到直线AC1的距离为

eq\r(a2－?a·u?2)＝eq\r(1－\f(1,3))＝eq\f(\r(6),3).

(2)因为eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(EC1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，0))，

所以FC∥EC1.因为EC1?平面AEC1，FC?平面AEC1，

所以FC∥平面AEC1，

所以点F到平面AEC1的距离即为直线FC到平面AEC1的距离．

设平面AEC1的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AE,\s\up6(→))＝0，,n·\o(EC1,\s\up6(→))＝0，))

所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)y－z＝0，