第7课时向量法求空间角

[考试要求]1.能用空间向量的方法解简单的线线、线面、面面的夹角问题.2.体会向量方法在研究几何问题中的作用．

1．异面直线所成的角

若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|).

2．直线与平面所成的角

如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\f(|u·n|,|u||n|).

3．平面与平面的夹角

如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).

[常用结论]

最小角定理

如图，若OA为平面α的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面α内的射影，OC为平面α内的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，θ1为OA与OB所成的角，即线面角，θ2为OB与OC所成的角，那么cosθ＝cosθ1cosθ2.

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．(×)

(2)直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角的余角就是直线l与平面α所成的角．(×)

(3)若二面角的平面角为θ，则两个平面的法向量的夹角也是θ.(×)

(4)两异面直线夹角的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，直线与平面所成角的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，二面角的范围是[0，π]．(√)

二、教材经典衍生

1．(人教A版选择性必修第一册P36例7改编)已知直线l1的方向向量s1＝(1,0,1)与直线l2的方向向量s2＝(－1,2，－2)，则l1和l2夹角的余弦值为()

A．eq\f(\r(2),4) B．eq\f(1,2)

C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),2)

C[设两直线的夹角为θ，所以cosθ＝|cos〈s1，s2〉|＝eq\f(|s1·s2|,|s1||s2|)＝eq\f(|－1－2|,\r(2)×3)＝eq\f(\r(2),2).所以l1和l2夹角的余弦值为eq\f(\r(2),2).]

2．(人教A版选择性必修第一册P37例8改编)已知两平面的法向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这两个平面夹角的余弦值为________.

eq\f(\r(15),6)[设两平面夹角为θ，则cosθ＝eq\f(|?0，－1，3?·?2，2，4?|,\r(1＋9)×\r(4＋4＋16))＝eq\f(\r(15),6).]

3.(人教A版选择性必修第一册P41练习T1改编)二面角α-l-β的棱上有A，B两点，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱l.已知AB＝1，AC＝2，BD＝3，CD＝2eq\r(2)，则平面α与平面β的夹角为.

eq\f(π,3)[由eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))可得，

eq\o(CD,\s\up6(→))2＝(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))2＝eq\o(CA,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(BD,\s\up6(→))2＋2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＋2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝4＋1＋9＋2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(CA,\s\up6(→))))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(BD,\s\up6(→))))cos〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝14＋12cos〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝(2eq\r(2))2.

所以cos〈eq\o(CA,\s\up6(