极化恒等式的应用

极化恒等式：a·b＝eq\f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2]．

几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的eq\f(1,4).

在平行四边形ABDC中，O是对角线的交点，则

(1)平行四边形模式：eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(|eq\o(AD,\s\up6(→))|2－|eq\o(BC,\s\up6(→))|2)．

(2)三角形模式：eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AO,\s\up6(→))|2－eq\f(1,4)|eq\o(BC,\s\up6(→))|2.

(3)关联定理之平行四边形定理

(4)推广定理之矩形大法

题型一求数量积

[典例1](1)设向量a，b满足|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，则a·b等于()

A．1 B．2

C．3 D．5

(2)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝4，eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝－1，则eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))的值为.

(1)A(2)eq\f(7,8)[(1)因为a·b＝eq\f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2]＝eq\f(1,4)×(10－6)＝1，所以a·b＝1.

(2)设eq\o(DC,\s\up6(→))＝a，eq\o(DF,\s\up6(→))＝b，eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|2－|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝9b2－a2＝4，eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝|eq\o(FD,\s\up6(→))|2－|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝b2－a2＝－1，解得b2＝eq\f(5,8)，a2＝eq\f(13,8)，所以eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝|eq\o(ED,\s\up6(→))|2－|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝4b2－a2＝eq\f(7,8).]

利用极化恒等式求数量积的步骤

(1)取第三边的中点；

(2)利用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边边长的一半的平方差；

(3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值．

[跟进训练]

1．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4eq\r(5)，AD＝8，E，O，F为线段BD的四等分点，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝___________________________.

27[由题意得BD＝eq\r(AB2＋AD2)＝12，所以AO＝6，OE＝3，

所以由极化恒等式知

eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))2－eq\o(OE,\s\up6(→))2＝36－9＝27.]

题型二求数量积的最值(范围)

[典例2]已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))的最小值是()

A．－2 B．－eq\f(3,2)

C．－eq\f(4,3) D．－1

B[法一(极化恒等式)：结合题意画出图形，如图1所示，设BC的中点为D，连接AD，设AD的中点为E，连接PE，PD，则有eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PD,\s\up6(→))，

则eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))＝2(eq\o(PE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→)))·(eq\o(PE,\s\up6(→))－eq\o(EA,\s\up6(→)))＝2(eq\o(PE,\s\up6(→))2－eq\o(EA,\s\up6(→))2)．而eq\o(EA,\s\up6(→