三角函数中ω的范围问题

题型一三角函数的单调性与ω的关系

[典例1]已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))(ω＞0)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上单调递减，则ω的取值范围为()

A．(0,1] B．[1,2]

C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(4,3))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(3,2)))

C[设函数f(x)的最小正周期为T，由题意得eq\f(T,2)≥π－eq\f(π,2)，即T≥π.

又T＝eq\f(2π,ω)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2π,ω)≥π，,ω＞0，))解得0＜ω≤2.

又x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以ωx＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)ω＋\f(π,6)，πω＋\f(π,6)))，所以eq\f(π,6)＜eq\f(π,2)ω＋eq\f(π,6)≤eq\f(7π,6).

要使函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上单调递减，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)≤\f(π,2)ω＋\f(π,6)，,πω＋\f(π,6)≤\f(3π,2)，))解得eq\f(2,3)≤ω≤eq\f(4,3).故选C．]

根据正弦函数的单调递减区间，确定函数f(x)的单调递减区间，从而建立关于ω的不等式组，求得ω的取值范围．

[跟进训练]

1．若函数f(x)＝sinωx＋eq\r(3)cosωx－1在[0,2π]上恰有5个零点，且在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,15)))上单调递增，则正实数ω的取值范围为__________.

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，\f(5,2)))[依题意，函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))－1，由f(x)＝0，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))＝eq\f(1,2)，

则ωx＋eq\f(π,3)＝2kπ＋eq\f(π,6)或ωx＋eq\f(π,3)＝2kπ＋eq\f(5π,6)，k∈Z.

由x∈[0,2π]，得ωx＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，2πω＋\f(π,3)))，由f(x)在[0,2π]上恰有5个零点，

得eq\f(29π,6)≤2πω＋eq\f(π,3)eq\f(37π,6)，解得eq\f(9,4)≤ωeq\f(35,12).

由－eq\f(π,2)≤ωx＋eq\f(π,3)≤eq\f(π,2)，得－eq\f(5π,6ω)≤x≤eq\f(π,6ω)，即函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6ω)，\f(π,6ω)))上单调递增，

因此eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,15)))?eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6ω)，\f(π,6ω)))，即－eq\f(5π,6ω)≤－eq\f(π,4)，且eq\f(π,6ω)≥eq\f(π,15)，解得0ω≤eq\f(5,2)，所以eq\f(9,4)≤ω≤eq\f(5,2).

所以正实数ω的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，\f(5,2))).]

题型二三角函数图象的对称性与ω的关系

[典例2](2025·青岛模拟)若函数f(x)＝eq\r(3)sinωx＋cosωx(ω＞0)的图象在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))上仅有一条对称轴及一个对称中心，则ω的取值范围为()

A．(5,8) B．(5,8]

C．(5,11] D．[5,11)

B[由题意，函数f(x)＝eq\r(3)sinωx＋cosωx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))，