;;;(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．

(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率．

(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%，从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001)．;该类问题常常借助图形或表格，将文字、图表、数据等融为一体，考查考生的直观想象和数学建模素养，求解的关键是立足题干提取信息，结合统计的相关知识进行数据分析或结合概率模型求解相应概率．;[跟进训练]

1．(2025·日照模拟)某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了了解学生参与活动的情况，随机调查了100名学生一个月(30天)完成锻炼活动的天数，制成如下频数分布表：;(2)调查数据表明，样本中参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[15,30]的学生中有30名男生，天数在[0,15)的学生中有20名男生，学校对当月参加“每天锻炼1小时”活动不低于15天的学生授予“运动达人”称号．请填写下面列联表：;并依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”称号有关联．如果结论是有关联，请解释它们之间如何相互影响．

附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.;(2)由频数分布表知，锻炼活动的天数在[0,15)的人数为4＋15＋33＝52，

因为参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0,15)的学生中有20名男生，

所以参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0,15)的学生中女生人数为52－20＝32.

由频数分布表知，锻炼活动的天数在[15,30]的人数为31＋11＋6＝48，

因为参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[15,30]的学生中有30名男生，

所以参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[15,30]的学生中女生人数为48－30＝18.;列联表如下：;考点二概率、统计与数列的综合问题

[典例2](2023·新高考Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则???为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.

(1)求第2次投篮的人是乙的概率．

(2)求第i次投篮的人是甲的概率．;解答此类问题的关键是借助概率知识(如相互独立事件的概率公式、条件概率公式等)建立Pn＋1与Pn的递推关系，然后利用数列知识(一般是构造法)求解．;[跟进训练]

2．(2025·烟台模拟)某篮球赛事采取四人制形式．在一次战术训练中，甲、乙、丙、丁四名队员进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人．n次传球后，记事件“乙、丙、丁三人均接过传出来的球”发生的概率为Pn.

(1)求P3;

(2)当n＝3时，记乙、丙、丁三人中接过传出来的球的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望；;考点三概率、统计与函数的交汇问题

[典例3](12分)根据社会人口学研究发现，一个家庭有X个孩子的概率模型如下：;该类问题常以实际生活中的概率、统计知识为背景，将概率、统计与函数建模融合在一起，充分借助函数的性质研究相关问题的最值，可能涉及函数的单调性、导数等知识，求解时注意合理转化．;[跟进训练]

3．(2021·新高考Ⅱ卷)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X＝i)＝pi(i＝0,1,2,3)．

(1)已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E(X)．

(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p＝1；当E(X)1时，p1.

(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义．;解：(1)E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.

(2)证明：法一(常规求导)：

p0＋p1x＋p2x2＋p3x3－x＝0，x＞0，

令f(x)＝p0＋p1x＋p2x2＋p3x3－x，

f′(x)＝p1＋2p2x＋3p3x2－1，

令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝2p2＋