;;[考试要求]能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．;;2．二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数______.;[常用结论];一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．()
(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．();二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第三册P30例2改编)(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为()
A．6 B．－6
C．24 D．－24;A．－40 B．－40x2
C．40 D．40x2;3．(人教A版选择性必修第三册P35习题6.3T8改编)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，那么此展开式中二项式系数最大的项为()
A．252x3 B．210x4
C．252x5 D．210x6;4．(人教A版选择性必修第三册P34习题6.3T2改编)(x＋1)5(x－2)的展开式中x2的系数为________.
－15[(x＋1)5(x－2)＝x(x＋1)5－2(x＋1)5展开式中含有x2的项为5x2－20x2＝－15x2.故x2的系数为－15.];;形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题
[典例2](1)在(x＋1)(x－2)(x＋3)(x－4)·(x＋5)的展开式中，含x3的项的系数是()
A．－23 B．－3
C．3 D．15
;形如(a＋b＋c)n的展开式问题
[典例3](x2－x＋y)5的展开式中x5y2的系数为()
A．－10 B．10
C．－30 D．30
;几种求展开式特定项的解法
(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决或从组合角度求特定项．;[跟进训练]
1．(1)已知(ax－2)·(x＋1)4的展开式中x3的系数为－2，则实数a的值为()
A．2 B．－1
C．1 D．－2
(2)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是()
A．60 B．80
C．84 D．120
(3)(1＋2x－3x2)5的展开式中x5的系数为______________.;考点二二项式系数与项的系数问题
二项??系数和与系数和
[典例4](1)(多选)已知(1－2x)2023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2023x2023，下列命题正确的是()
A．展开式中所有项的二项式系数和为22023
;(2)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为_________．;(2)令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，
所以(2＋m)9·m9＝39，所以m(2＋m)＝3，
所以m＝－3或m＝1.];二项式系数的性质
[典例5](2025·威海模拟)若(mx－1)n(n∈N*)的展开式中，所有项的系数和与二项式系数和相等，且第6项的二项式系数最大，则有序实数对(m，n)共有________组不同的解．
4[根据二项式系数的性质，由第6项的二项式系数最大知n的可能取值为9,10,11，令x＝1，有(m－1)n＝2n，当n＝9,11时，m＝3；当n＝10时，m＝3或－1，故有序实数对(m，n)共有4组不同的解，分别为(3,9)，(3,11)，(－1,10)，(3,10)．];赋值法的应用
;提醒：①注意项的系数与二项式系数的区别；②理解奇数项与偶数项，奇次幂与偶次幂．;[跟进训练];(2)若(2x＋1)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则a2＋a4＋a6＝________.
(3)(2023·上海高考)已知(1＋2023x)100＋(2023－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，其中a0，a1，a2，…，a100∈R，若0≤k≤100且k∈N，当ak0时，k的最大值为____________.;(2)令x＝1得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝36