;;[考试要求]1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.会用两个计数原理及排列、组合分析和解决一些简单的实际问题．;;2．排列与组合的概念;3．排列数、组合数的定义、公式、性质;n！;[常用结论]

排列数、组合数常用公式;一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．()

(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．()

(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．();二、教材经典衍生

1．(人教A版选择性必修第三册P11习题6.1T2改编)如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路．则从甲地到丁地的不同路线共有()

A．12条

B．15条

C．18条

D．72条;C[若路线为甲乙丁，则有3×2＝6(条)；若路线为甲丙丁，则有3×4＝12(条)，故共有6＋12＝18(条)．故选C.];2．(人教A版选择性必修第三册P19例4改编)从0,1,2,3,4,5这六个数字中选3个数字，可以组成的无重复数字的三位偶数的个数为()

A．52 B．56

C．48 D．72;3．(人教A版选择性必修第三册P27习题6.2T13改编)从2名女生，4名男生中选3人参加学科竞赛，且至少有1名女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字作答);4．(易错题)(人教A版选择性必修第三册P12习题6.1T8改编)五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为__________.五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有____________种．(用数字作答)

1024625[五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每名学生有4种报名方法，共有45＝1024(种)不同的报名方法．五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种可能性，共有54＝625(种)获得冠军的可能性．];;(2)中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造．如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1,2,3，…，8，现准备给该伞面的每个区域涂色，???求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域(如区域1与区域5)所涂颜色相同．若有7种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有()

A．1050种

B．1260种

C．1302种

D．1512种;(3)(2023·上海高考)已知空间中的三点A，B，C满足AB＝AC＝BC＝1，在空间中任取不同的两点(不计顺序)，使得这两点与点A，B，C可以组成正四棱锥，则不同的取法有________种．(用数字作答);(1)B(2)C(3)9[(1)由题意可知，从E到F共有6条最短路径，从F到G共有3条最短路径，由分步乘法计数原理知，共有6×3＝18(条)最短路径．

(2)由题意可得，只需确定区域1,2,3,4的颜色，即可确定整个伞面的涂色．先涂区域1，有7种选择；再涂区域2，有6种选择；当区域3与区域1涂的颜色不同时，区域3有5种选择，剩下的区域4有5种选择；当区域3与区域1涂的颜色相同时，剩下的区域4有6种选择．故不同的涂色方案有7×6×(5×5＋1×6)＝1302(种)．故选C.;(3)由题意得△ABC为正三角形．根据正四棱锥的定义知，正四棱锥的底面是正方形，顶点在底面的射影是正方形的中心，故所给正三角形ABC的任意一条边可以为底面正方形的一条边或对角线．将△ABC的一条边作为底面正方形的一条边，若将BC作为底面正方形的一条边，可在△ABC的左侧取不同的两点E，F，使得这两点与A，B，C构成正四棱锥A-BCEF，在△ABC的右侧取不同的两点E′，F′，使得这两点与A，B，C构成正四棱锥A-BCE′F′，;如图1，同样，AB，AC也可作为底面正方形的一条边，所以方案数为3×2＝6；将△ABC的一条边作为底面正方形的对角线时，若将BC作为底面正方形的对角线，可构造一个正四棱锥，如图2，同样AB，AC也可作为底面正方形的对角线，所以方案数为3.故不同的取法有6＋3＝9(种)．;[拓展变式]若本例(1)中CD段马路由于正在维修(如图)，暂时不通，则从E到G的最短路径有________条．;利用两个基本计数原理解决问题的步骤;提醒：涂色问题的两种常用解题方法：按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；以颜色为主分类讨论，用分类加法计数原理分析．;[跟进训练]

1．(1)某旅游景区有如图所示的