;;[考试要求]1.能用空间向量的方法解简单的线线、线面、面面的夹角问题.2.体会向量方法在研究几何问题中的作用．;;3．平面与平面的夹角
如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝
_________.;[常用结论]
最小角定理
如图，若OA为平面α的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面α内的射影，OC为平面α内的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，θ1为OA与OB所成的角，即线面角，θ2为OB与OC所成的角，那么cosθ＝cosθ1cosθ2.;一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．()
(2)直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角的余角就是直线l与平面α所成的角．()
(3)若二面角的平面角为θ，则两个平面的法向量的夹角也是θ.();二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第一册P36例7改编)已知直线l1的方向向量s1＝(1,0,1)与直线l2的方向向量s2＝(－1,2,－2)，则l1和l2夹角的余弦值为();2．(人教A版选择性必修第一册P37例8改编)已知两平面的法向量分别为(0,－1,3)，(2,2,4)，则这两个平面夹角的余弦值为________.;4．(人教A版选择性必修第一册P38练习T2改编)PA，PB，PC是从点P出发的三条射线，其中∠APC＝∠BPC＝45°，∠APB＝60°，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为________.;因为DO⊥平面PAB，
则DE⊥PA，DF⊥PB．;;(2)以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(图略)．
因为正方体的棱长为2，则A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，E(0,2,1)，A(2,0,0)．;用坐标法求异面直线所成角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；;[跟进训练];考点二直线与平面所成的角
[典例2](2024·济南三模)如图，在三棱台ABC-DEF
中，平面ABC⊥平面BCFE，AF⊥DE，∠ABC＝
∠CBF＝45°，ACAB＝1.
(1)求三棱台ABC-DEF的高；;解：(1)如图，过点F作FO⊥BC于点O，连接AO，因为平面ABC⊥平面BCFE，
平面ABC∩平面BCFE＝BC，FO?平面BCFE，FO⊥BC，
所以FO⊥平面ABC，即FO为三棱台ABC-DEF的高．
又因为AB?平面ABC，所以FO⊥AB．
因为AB∥DE，AF⊥DE，所以AB⊥AF.
又FO∩AF＝F，FO，AF?平面AFO，所以AB⊥平面AFO.
又AO?平面AFO，所以AB⊥AO.又∠ABC＝∠CBF＝45°，AB＝1，;(2)由(1)知FO⊥平面ABC，以O为原点，在平面ABC内，作Ox⊥BC，以Ox，OB，OF所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，;利用空间向量求线面角的解题步骤;[跟进训练]
2．(2024·青岛三模)如图，在多面体ABCDEF中，底
面ABCD是正方形，点O为底面的中心，点M为EF的
中点，侧面ADEF与BCEF是全等的等腰梯形，EF＝
4，其余棱长均为2.;解：(1)证明：如图，分别取AB，CD的中点K，Q，连接FK，KQ，QE，则O为KQ的中点．
因为侧面ADEF是等腰梯形，所以EF∥AD.
又KQ∥AD，所以KQ∥EF.
因为△ABF和△DCE都是边长为2的等边三角形，则FK＝EQ，所以四边形FKQE为等腰梯形．
因为点M为EF的中点，O为KQ的中点，所以MO⊥KQ.
因为△ABF是等边三角形，所以AB⊥FK.
又AB⊥KQ，KQ∩FK＝K，KQ，FK?平面FKQE，;所以AB⊥平面FKQE.又AB?平面ABCD，所以平面FKQE⊥平面ABCD.
因为平面FKQE∩平面ABCD＝KQ，MO?平面FKQE，MO⊥KQ，
所以MO⊥平面ABCD.;考点三平面与平面的夹角
[典例3](12分)(2023·新高考Ⅰ卷)如图，在正四棱柱
ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.点A2，B2，C2，
D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2
＝DD2＝2，CC2＝3.
(1)证明：B2C2∥A2D2；
(2)点P在棱BB1上，当二面角