;;[考试要求]1.了解空间向量的概念、空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．;;2．空间向量的数量积

非零向量a，b的数量积a·b＝__________________.;3．空间向量的坐标表示及其应用

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．;4．直线的方向向量和平面的法向量

(1)直线的方向向量：在直线l上取非零向量a，把与向量a______的非零向量称为直线l的方向向量．

(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．;5．空间位置关系的向量表示;一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)空间中任意两非零向量a，b共面．()

(2)在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是(0，b，c).()

(3)对于非零向量b，若a·b＝b·c，则a＝c.()

(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．();二、教材经典衍生

1．(人教A版选择性必修第一册P33练习T1改编)已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2,3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则()

A．α∥β B．α⊥β

C．α，β相交但不垂直 D．以上均不对

C[因为n1≠λn2，且n1·n2＝－23≠0，

所以α，β相交但不垂直．];√;3．(多选)(人教A版选择性必修第一册P22练习T3改编)已知点A(1,2,2)，B(1，－3,1)，点C在Oyz平面上，且点C到点A，B的距离相等，则点C的坐标可以为()

A．(0，1，－1) B．(0，－1，4)

C．(0，1，－6) D．(0，2，10);;√;空间向量线性运算中的三个关键点;[跟进训练];(2)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点．;[(1)如图，;(1)求证：四边形BDD1B1为正方形；

(2)求体对角线AC1的长度；

(3)求异面直线AB1与BD1所成角的余弦值．;空间向量数量积的应用;[跟进训练];考点三利用向量证明平行与垂直

[典例3]如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°角，求证：

(1)CM∥平面PAD；

(2)平面PAB⊥平面PAD.;证明：(1)由题意知，CB，CD，CP两两垂直，以C为原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.

因为PC⊥平面ABCD，

所以∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，

所以∠PBC＝30°.;又PA∩DA＝A，DA，PA?平面PAD，

所以BE⊥平面PAD.

因为BE?平面PAB，

所以平面PAB⊥平面PAD.;1．利用向量法证明平行问题

(1)线线平行：方向向量平行．

(2)线面平行：平面外的直线的方向向量与平面的法向量垂直．

(3)面面平行：两平面的法向量平行．

2．利用向量法证垂直问题

(1)线线垂直：证明两直线的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．

(2)线面垂直：直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直．

(3)面面垂直：两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直．;[跟进训练]

3．(2025·德州模拟)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．

(1)求证：B1E⊥AD1.

(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．;(2)存在满足要求的点P，理由如下：

假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0)(0≤z0≤1)，使得DP∥平面B1AE，;;谢谢！