第四章三角函数与解三角形

高考培优5与三角形有关的范围(最值)问题

题型一已知三角形的一角求取值范围

题中的三角形形状是锐角三角形，对角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，转化为求三角函数取值范围问题．

题型二已知三角形的一角及其对边求取值范围[典例2]在△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC．(1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．[四字解题]

解：(1)由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB.①由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA．②

(2)法一(基本不等式)：由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA＝AC2＋AB2＋AC·AB＝9，即(AC＋AB)2－AC·AB＝9.

法二(三角函数法)：由正弦定理及(1)得

(1)求B和b的值；(2)求AC边上高h的最大值．

题型三已知三角形的一角及其邻边求取值范围(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．

本例由于含有附加条件“△ABC为锐角三角形”，故不能利用基本不等式求解，可以将边转化成三角函数后进行求解，求解思路类似于典例2.锐角三角形中求最值或范围尽量向角转化，因为用基本不等式无法转化锐角三角形这个条件．

题型四已知三角形中角(或边)的关系求取值范围

关键点：由此发现B，C的关系切入点：实现边角互化

√

(2)因为∠ABC的平分线交AC于点D，BD＝1，所以S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，即

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