;;;所以函数f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，

在(－lna，＋∞)上单调递增．

综上可得，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；

当a＞0时，函数f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增．;(2)证明：由(1)得当a＞0时，函数f(x)＝a(ex＋a)－x的最小值为f(－lna)＝a(e－lna＋a)＋lna＝1＋a2＋lna，;一般地，待证不等式的两边含有同一个变量时，可以直接构造“左减右”(或“右减左”)的函数，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值进行证明．

提醒：对复杂的式子可以先进行变形，再移项构造函数进行证明．;[跟进训练]

1．证明：当x∈[0,2]时，x2e2x－2≥－2x2＋8x－5.

证明：令g(x)＝x2e2x－2＋2x2－8x＋5，x∈[0,2]，则g′(x)＝2e2x－2(x2＋x)＋4x－8，x∈[0,2]．

令h(x)＝g′(x)，则h′(x)＝2e2x－2(2x2＋4x＋1)＋40，所以g′(x)在[0,2]上单调递增，且g′(1)＝0，

所以g(x)在[0,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增，所以g(x)的最小值为g(1)＝0，所以g(x)≥0，即x2e2x－2≥－2x2＋8x－5.;考点二隔离分析法证明不等式;在同时含lnx与ex的不等式证明中，常采用把对数单独分离的方式，把待证不等式分离．如本例中直接构造函数，求导运算比较复杂，此时把指数与对数分离两边，构造两个函数，分别计算它们的最值，借助最值进行证明．;[跟进训练]

2．已知函数f(x)＝xlnx－ax.

(1)当a＝－1时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的最值；;考点三放缩法证明不等式;(2)证明：由(1)知f(x)＝ex－2.

先证：ex－2＞x－1(x＞0)，

关键点1：想到ex＞x＋1;再证：x－1≥lnx(x＞0)，

关键点2：想到x－1≥lnx

即x－1－lnx≥0(x＞0)．

令φ(x)＝x－1－lnx(x＞0)，;即x－1－lnx≥0，

所以x－1≥lnx．②……11分

由①②得ex－2＞lnx，

即f(x)＞lnx在(0，＋∞)上恒成立.……12分;导数的综合应用题中，最常见的就是ex和lnx与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以先对ex和lnx进行放缩，使问题简化，便于化简或判断导数的正负．常见的放缩不等式如下：

(1)ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号；

(2)ex≥ex，当且仅当x＝1时取等号；;所以当0＜x＜1时，f′(x)＜0，;当x＞1时，f′(x)＞0，

所以当0＜x＜1时，函数f(x)单调递减；

当x＞1时，函数f(x)单调递增．

所以f(x)≥f(1)＝0，即函数f(x)的最小值为0.;令h(x)＝xex－sinx，则h′(x)＝(x＋1)ex－cosx，

当0＜x＜π时，

h′(x)＝(x＋1)ex－cosx＞e0－1＝0，;所以函数h(x)在(0，π)上单调递增，

所以当0＜x＜π时，h(x)＞h(0)＝0，

即xex－sinx＞0，

所以当x∈(0，π)时，不等式ex＞(1－lnx)·sinx成立．;;谢谢！