第三章一元函数的导数及其应用

第2课时导数与函数的单调性

[考试要求]1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．

链接教材·夯基固本1．函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)0f(x)在区间(a，b)上____________f′(x)0f(x)在区间(a，b)上____________f′(x)＝0f(x)在区间(a，b)上是____________单调递增单调递减常数函数

2．利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的_________；第2步，求出导数f′(x)的______；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．定义域零点

[常用结论]1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)0有解.3．f′(x)＞0在(a，b)上恒成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件，举例：f(x)＝x3在R上单调递增，但f′(0)＝0.

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．()(2)若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)上单调递减．()(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)0，则f(x)在定义域上一定单调递增．()(4)函数f(x)＝x－sinx在R上单调递增．()√√×√

二、教材经典衍生1.(人教A版选择性必修第二册P103复习参考题5T3改编)f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()√

C[由f′(x)的图象知，当x∈(－∞，0)时，f′(x)0，所以f(x)单调递增；当x∈(0，x1)时，f′(x)0，所以f(x)单调递减；当x∈(x1，＋∞)时，f′(x)0，所以f(x)单调递增．故选C．]

2．(人教A版选择性必修第二册P86例1改编)函数f(x)＝cosx－x在(0，π)上的单调性是()A．先增后减 B．先减后增C．单调递增 D．单调递减D[因为f′(x)＝－sinx－1＜0在(0，π)上恒成立，所以f(x)在(0，π)上单调递减．故选D.]√

3．(人教A版选择性必修第二册P97习题5.3T1改编)函数f(x)＝x－lnx的单调递减区间为________.

4．(人教A版选择性必修第二册P87例3改编)已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上单调递增，则实数a的最大值是________.3[f′(x)＝3x2－a≥0，即a≤3x2，又因为x∈[1，＋∞)，所以a≤3，即a的最大值是3.]

典例精研·核心考点考点一不含参数的函数的单调性[典例1](1)(2025·菏泽调研)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是()A．f(x)＝sin2x B．f(x)＝xexC．f(x)＝x3－x D．f(x)＝－x＋lnx√

利用导函数求函数单调区间的注意点(1)必须先求函数定义域，单调区间是定义域的子集．(2)正确求导函数．(3)当f′(x)＝0无解时，可根据f′(x)的结构特征确定f′(x)的符号．(4)所求函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”及“和”隔开．

由h(1)＝0知，当0＜x＜1时，h(x)＞0，所以f′(x)＞0；当x＞1时，h(x)＜0，所以f′(x)＜0.综上，f(x)的单调递增区间是(0,1)．]

考点二含参数的函数的单调性

[拓展变式]若将本例中a0改为a∈R，其他条件不变，试讨论f(x)的单调性．解：当a0时，讨论同例题解析；当a≤0时，ax－10，所以x∈(0,1)时，f′(x)0；x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，所以函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．综上，当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；

(1)对于含参数的函数的单调性，常见的分类讨论点按讨论的先后顺序有以下三个：分类讨论点1(根的有无讨论)：求导后，考虑f′(x)＝0是否有实数根，从而引起分类