第一章集合、常用逻辑用语、不等式

第3课时不等式的性质

[考试要求]1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用．

链接教材·夯基固本1．比较实数a，b大小的基本事实＝

2．不等式的性质性质1对称性：ab?____；性质2传递性：ab，bc?_____；性质3可加性：ab?____________；性质4可乘性：ab，c0?______；ab，c0?______；性质5同向可加性：ab，cd?___________；性质6同向同正可乘性：ab0，cd0?_______；性质7同正可乘方性：ab0?anbn(n∈N，n≥2)．baaca＋cb＋cacbcacbca＋cb＋dacbd

[常用结论]若ab0，m0，则

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a＞b，则ac2＞bc2.()×××√

二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P43习题2.1T3改编)设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则()A．M＞N B．M≥NC．M＜N D．M≤NA[因为M－N＝2a(a－2)－(a＋1)·(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，所以M＞N.故选A．]√

2．(人教A版必修第一册P43习题2.1T10改编)已知b克糖水中有a克糖(ba0)，再添加m克水(m0)，糖水甜度变淡了．下面式子可以说明这一事实的是()√

3．(人教A版必修第一册P42练习T2改编)用不等号“＞”或“＜”填空．(1)如果a＜b，c＞d，那么a－c____b－d；＜＜＞

4．(人教A版必修第一册P43习题2.1T5改编)已知－1a2，－3b5，则a－b的取值范围是____________.(－6,5)[因为－3b5，所以－5－b3，又－1a2，所以－6a－b5.]

典例精研·核心考点考点一数(式)的大小比较A．pq B．p≤qC．pq D．p≥q(2)若ab1，P＝aeb，Q＝bea，则P，Q的大小关系是()A．PQ B．P＝QC．PQ D．不能确定√√

因为a0，b0，所以a＋b0，ab0.又(b－a)2≥0，所以p－q≤0.综上，p≤q.故选B.

比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形(因式分解、配方、有理化等)；③定号；④得出结论．(2)作商法：①作商；②变形(因式分解、配方、有理化等)；③判断商与1的大小关系；④得出结论．(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．

[跟进训练]1．(1)已知a，b为不相等的实数，记M＝a2－ab，N＝ab－b2，则M与N的大小关系为()A．MN B．M＝NC．MN D．不确定(2)(2025·济南模拟)已知ab0，则aabb与abba的大小关系为________.(1)A(2)aabbabba[(1)因为M－N＝(a2－ab)－(ab－b2)＝(a－b)2，a≠b，所以(a－b)20，即MN.故选A．√

又abba0，所以aabbabba.]

考点二不等式的性质[典例2](1)若a0b，则()A．a3b3 B．|a||b|(2)下列说法正确的是()A．若ac2≥bc2，则a≥b√√

(1)A(2)D[(1)因为a0b，所以a30，b30，即a3b3，故A正确；取a＝1，b＝－2，则|a||b|不成立，故B错误；

(2)对于A，若ac2≥bc2，当c＝0时，a与b的大小关系无法确定，故A错误；对于C，取a＝－1，b＝2，c＝3，则满足a＋b0，c－b0，但不满足ac，故C错误；对于D，若a0，b0，m0，且ab，则b－a0，

判断不等式正误的常用方法(1)利用不等式的性质进行验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时，要特别注意应用性质的条件．(2)利用特殊值法排除错误不等式．(3)利用函数的单调性，当利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性来比较．

√√

考点三不等式性质的应用[典例3](多选)已知－2a＋b4,22a－b8，则下列不等式不正确的是()A．0a4 B．0b2C．－6a＋2b6 D．0a＋2b8BD[对于A，因为－2a＋b4,22a－b8，所以－2＋2a＋b＋2a－b4＋8，所以03a12，所以0a4，故A正确；对于B，因为22a－b8，所以－8b－2a－2，因为－2a＋b4，所以－42a＋2b8，√√

所以－123b6，所以－4b2，故B错误；对于CD，设a＋2b＝m(a＋b)＋n(2a－b)，则a＋2b＝(m＋2n)a＋(m－n)b，

求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得代数式的取值范围．提醒：在多次运用不等式的性质时有