§3.1导数的概念及其意义、导数的运算
课标要求1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数．
知识梳理
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作________或____________．
f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝__________________________________.
(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)
f′(x)＝y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f?x＋Δx?－f?x?,Δx).
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的________，相应的切线方程为________________________．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝__________
f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)
f′(x)＝__________
f(x)＝sinx
f′(x)＝__________
f(x)＝cosx
f′(x)＝__________
f(x)＝ax(a0，且a≠1)
f′(x)＝__________
f(x)＝ex
f′(x)＝__________
f(x)＝logax(a0，且a≠1)
f′(x)＝__________
f(x)＝lnx
f′(x)＝__________
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]′＝____________；
[f(x)g(x)]′＝________________________；
eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f?x?,g?x?)))′＝eq\f(f′?x?g?x?－f?x?g′?x?,[g?x?]2)(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝____________.
5．复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝____________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
常用结论
1．在点处的切线与过点的切线的区别
(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．
(2)过点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．
2.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,f?x?)))′＝eq\f(－f′?x?,[f?x?]2)(f(x)≠0)．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．()
(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．()
(3)f′(x0)＝[f(x0)]′.()
(4)(e－x)′＝－e－x.()
2．若函数f(x)＝3x＋sin2x，则()
A．f′(x)＝3xln3＋2cos2x
B．f′(x)＝3x＋2cos2x
C．f′(x)＝eq\f(3x,ln3)＋cos2x
D．f′(x)＝eq\f(3x,ln3)－2cos2x
3．(选择性必修第二册P70T7改编)曲线y＝eq\f(1,2)x2－2在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)))处的切线的倾斜角是________．
4．(选择性必修第二册P82T11改编)设曲线y＝e2ax在点(0,1)处的切线与直线2x－y＋1＝0垂直，则a的值为________.
题型一导数的运算
例1(1)(多选)下列求导正确的是()
A．[(3x＋5)3]′＝9(3x＋5)2
B．(x3lnx)′＝3x2lnx＋x2
C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2sinx,x2)))′＝eq\f(2xcosx＋4sinx,x3)
D．(ln2x)′＝eq\f(1,2x)
(2)(2023·河南联考)已知函数f(x)满足f(x)＝2f′(1)lnx＋eq\f(x,e)(f′(x)为f(x)的导函数)，则f(e)等于()
A．e－1 B.eq\f(2,e)＋1
C．1 D．－eq\f(2,e)＋1
跟踪训练1(多选)下列命题正确的是()
A．若f(x)＝xsinx－cosx，则f′(x)＝sinx－xcosx＋sinx
B．设函数f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝e