专题30圆锥曲线中定值问题
知识必备
在圆锥曲线中，某些几何量在特定的结构中，不受相关变元的制约而恒定不变，则称该变量具有定值特征.
解答此类问题的基本策略同样有以下两种：
(1)把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关.
(2)把相关几何量用曲线中的参数表示，再证明结论与所求参数无关.
定值问题属于点难点型的，同时计算能力要求很高，所以这方面的锻炼尤为重要.
探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：
(1)从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值.
典型例题
一、长度或距离及相关为定值
【例题1】
已知圆A：x22y227和圆B：x
(1)求动圆C的圆心的轨迹E的方程；
(2)设圆O：x2y21，点M，P分别是圆O和(1)中轨迹E
【例题2】已知椭圆C：x225y291的右焦点为F，过F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点，线段AB
(1)若BF2，求B
(2)问：ABFM
【例题3】已知抛物线C：x22pyp0的焦点为F，点Px
(1)求抛物线C的方程；
(2)过Q0，4的直线l与抛物线C相交于A，B两点求证：1AQ
二、面积为定值
【例题4】已知点F0，2，过点P0，2且与y轴垂直的直线为l1，l2⊥x轴，交l1于点N
(1)求点M的轨迹方程；
(2)记点M的轨迹为曲线E，直线AB与曲线E交于不同两点Ax1，y1，Bx2，y2，且x21x1
【例题5】已知椭圆E：x2a2y2b21ab0的离心率为e，点
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)直线l交椭圆E于M，N两点，若直线OM的斜率为k1，直线ON的斜率为k2，且k1
三、斜率和、斜率积等定值问题
【例题6】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2y2b21ab0
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是椭圆C上异于A、B的点，与x轴垂直的直线l分别交直线AP，BP于点M，N，求证：直线AN与直线BM的斜率之积是定值.
【例题7】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2y2
(1)求该椭圆的方程：
(2)过点D2，2作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q
四、其他定值问题
【例题8】已知椭圆E：x2a2y2b
(1)求椭圆E的方程；
(2)若C，D分别是椭圆E长轴的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM交椭圆于点N，O为坐标原点证明：OM?ON
【例题9】已知椭圆C：x2a
(1)求椭圆C的方程：
(2)A、B分别为椭圆C的左、右顶点，点P为圆x2y24上的动点(P不在坐标轴上)，PA与PB分别与椭圆C交E、F两点，直线EF交x轴于H点，请问点
【例题10】已知点P1，2在抛物线C：y22px上，过点Q0，1的直线l与抛物线C有两个不同的交点A、B，且直线PA交y轴于M，直线PB
(1)求直线l的斜率的取值范围；
(2)设O为原点，QMλQO，QNμQO，试判断