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2025年高考全国一卷数学试题及解析
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．的虚部为（???）
A． B．0 C．1 D．6
【答案】C
【解析】因为，所以其虚部为1，故选：C.
2．设全集，集合，则中元素个数为（???）
A．0 B．3 C．5 D．8
【答案】C
【解析】因为，所以，中的元素个数为，故选：C．
【知识拓展】两种求补集的方法
(1)若所给的集合是用列举法表示，则用Venn图求解．
(2)若所给的集合是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍．
3．若双曲线C的虚轴长为实轴长的倍，则C的离心率为（???）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为，由题知，，
于是，则，即.故选：D
【知识拓展】求双曲线离心率的两种方法
(1)直接法：若已知a，c，可直接利用e＝eq\f(c,a)求解；若已知a，b，可利用求解．
(2)方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程(不等式)，借助于e＝eq\f(c,a)，转化为关于e的n次方程(不等式)求解．
4．若点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（???）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足，
即的对称中心是，即，
又，则时最小，最小值是，即.故选：C
【知识拓展】正切函数对称中心的特殊性在于不仅有函数图象与x轴的交点，还有“渐近线”与x轴的交点，正确分析函数图象并结合正切函数的性质是解决与图象有关问题的关键．
5．设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（???）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题知对一切成立，
于是.故选：A
【知识拓展】周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等，常利用奇偶性和周期性将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，或已知单调性的区间内求解．
6．帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（???）
等级
风速大小m/s
名称
2
1.1~3.3
轻风
3
3.4~5.4
微风
4
5.5~7.9
和风
5
8.0~10.1
劲风
A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风
【答案】A
【解析】由题意及图得，视风风速对应的向量为：，
视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，
船速方向和船行风速的向量方向相反，
设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为，
∴，船行风速：，
∴，，
∴由表得，真风风速为轻风，故选：A.
【知识拓展】速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算．用向量解决速度、位移等问题，主要借助于向量的线性运算，有时也借助于坐标来运算．
7．若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（???）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，
在圆中，圆心，半径为，
到直线的距离为的点有且仅有个，
∵圆心到直线的距离为：，
故由图可知，当时，
圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于；
当时，
圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于；
当则的取值范围为时，
圆上有且仅有两个点到直线的距离等于.
故选：B.
【知识拓展】处理直线与圆的位置关系问题常用策略
(1)几何法：利用d与r的关系判断．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
8．若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（???）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】法一：设，所以
令，则，此时，A有可能；
令，则，此时，C有可能；
令，则，此时，D有可能；
故选：B．
法二：设，所以，
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着的变化可能出现：，，，，
故选：B．
【知识拓展】利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论