§2.1函数的概念及其表示
课标要求1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．
知识梳理
1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的三要素
(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
常用结论
1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2．在函数的定义中，非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．(×)
(2)任何一个函数都可以用图象法表示．(×)
(3)直线y＝a与函数y＝f(x)的图象可以有多个交点．(√)
(4)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x≥0，,x2，x0))的定义域为R.(√)
2．(多选)(2023·南宁质检)下列图象中，是函数图象的是()
答案ACD
解析在函数的对应关系中，一个自变量只对应一个因变量，在图象中，图象与平行于y轴的直线最多有一个交点，故选项B中的图象不是函数图象．
3．(多选)下列选项中，表示的不是同一个函数的是()
A．y＝eq\f(\r(x＋3),\r(3－x))与y＝eq\r(\f(x＋3,3－x))
B．y＝x2与y＝(x－1)2
C．y＝eq\r(x2)与y＝x
D．y＝1与y＝x0
答案BCD
解析对于A选项，y＝eq\f(\r(x＋3),\r(3－x))的定义域是[－3,3)，
y＝eq\r(\f(x＋3,3－x))的定义域是[－3,3)，
并且eq\f(\r(x＋3),\r(3－x))＝eq\r(\f(x＋3,3－x))，所以两个函数的定义域相同，对应关系相同，所以是同一个函数；
对于B选项，两个函数的对应关系不相同，所以不是同一个函数；
对于C选项，y＝eq\r(x2)＝|x|，所以两函数的对应关系不同，所以不是同一个函数；
对于D选项，y＝1的定义域是R，y＝x0的定义域是{x|x≠0}，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数．
4．已知函数f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是________________．
答案f(x)＝x2＋6x
解析f(x－1)＝x2＋4x－5，
设x－1＝t，则x＝t＋1，
所以f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，
故f(x)＝x2＋6x.
题型一函数的概念
例1(1)(多选)下列说法中正确的有()
A．f(x)＝eq\f(|x|,x)与g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x≥0，,－1，x0))表示同一个函数
B．函数f(x)＝eq\r(x＋1)－eq\f(1,x)的定义域是[－1,0)∪(0，＋∞)
C．f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一个函数
D．若f(x)＝|x－1|－x，则f?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f?\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝0
答案BC
解析对于A，函数f(x)＝eq\f(|x|,x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，函数g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x≥0，,－1，x0))的定义域为R，两函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故A错误；对于B，由题意，在f(x)＝eq\r(x＋1)－eq\f(1,x)中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,x≠0，))解得x≥－1且x≠0，故B正确；对于C，函数f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1的定义域与对应关系都相同，所以两函数是同一个函数，故C正确；对于D，由f(x)＝|x－1|－x，可得f?eq\b\lc\(\rc\)(