宜春市2023年高三年级模拟考试
数学（理）试卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名?准考证号填写在试卷和答题卡上.
2.回答选择题前，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一?选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，则（）
A. B.
C. D.
2.若复数满足为纯虚数，且，则的虚部为（）
A.1 B. C. D.1
3.给出下列命题，其中正确命题的个数为（）
①若样本数据的方差为，则数据的方差为；
②回归方程为时，变量与具有负的线性相关关系；
③随机变量服从正态分布，，则；
④在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，当样本相关系数越接近时，样本数据的线性相关程度越强.
A.个 B.个 C.个 D.个
4.已知实数满足约束条件则的最大值是（）
A.3 B. C. D.
5.已知为单位向量，且，则与的夹角为（）
A. B. C. D.
6.若则（）
A. B.
C. D.
7.在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数，公式和定理，若正整数只有1为公约数，则称互质，对于正整数是小于或等于的正整数中与互质的数的个数，函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，.记为数列的前项和，则（）
A. B. C. D.
8.函数的图象关于直线对称，将的图象向左平移个单位长度后与函数图象重合，下列说法正确的是（）
A.函数图象关于直线对称
B.函数图象关于点对称
C.函数在单调递减
D.函数最小正周期为
9.在Rt中，.以斜边为旋转轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的内切球的体积为（）
A. B. C. D.
10.如图所示，在等腰梯形中，，现将梯形依次绕着各点顺时针翻转，则在第一次绕着点翻转的过程中，对角线扫过的平面区域面积为（）
A. B. C. D.
11.已知数列满足，若数列的前项和，对任意不等式恒成立，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
12.已知双曲线的左?右焦点分别为，过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点，若的内心分别为，则与面积之和的取值范围是（）
A B. C. D.
二?填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知，则到点的距离为2的点的坐标可以是___________.（写出一个满足条件的点就可以）
14.已知点，若圆上存在点满足，则实数的取值的范围是___________.
15.已知是定义在上的奇函数，满足，当时，，则在区间上所有零点之和为__________.
16.如图，多面体中，面为正方形，平面，且为棱的中点，为棱上的动点，有下列结论：
①当为的中点时，平面；
②存在点，使得；
③三棱锥的体积为定值；
④三棱锥的外接球的体积为.
其中正确的结论序号为__________.
三?解答题：共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22?23题为选做题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.在中，角所对的边分别为，且.
（1）求证：；
（2）求的最小值.
18.党二十大的胜利召开为我们建设社会主义现代化国家指引了前进的方向，为讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程.为了调动大家积极学习党的二十大精神，某市举办了党史知识的竞赛.甲?乙两个单位进行党史知识竞赛，每个单位选出3人组成甲?乙两支代表队，每队初始分均为3分，首轮比赛每人回答一道必答题，答对则为本队得2分，答错或不答扣1分，已知甲队3人每人答对的概率分别为；乙队每人答对的概率都是，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用X表示首轮甲队总分.
（1）求随机变量X分布列及其数学期望；
（2）求在甲队和乙队总分之和为12分的条件下，甲队与乙队得分相同的概率.
19.如图，已知正三棱锥的侧面是直角三角形，过点作平面，垂足为，过点作平面，垂足为，连接并延长交于点.
（1）证明：是线段的中点；
（2）求平面与平面夹角的正弦值.
20.在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左?右焦点分别是，以为圆心，6为半径的圆与以为圆心，2为半径的圆相交，且交点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过椭圆右焦点的直线的斜率分别为，且，直线交椭圆于两点，直线交椭圆于两点，线段的中点分别为，直线与