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宜春市2023年高三年级模拟考试
数学（理）试卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名?准考证号填写在试卷和答题卡上.
2.回答选择题前，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一?选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解一元二次不等式求集合A，解对数不等式求集合B，应用集合交运算求结果.
【详解】由，可得，故，
由，
所以.
故选：C
2.若复数满足为纯虚数，且，则的虚部为（）
A.1 B. C. D.1
【答案】B
【解析】
【分析】设，利用复数除法运算和向量模长运算可构造方程求得的值，即为所求虚部.
【详解】设，
为纯虚数，，，
又，，解得：，
的虚部为.
故选：B.
3.给出下列命题，其中正确命题的个数为（）
①若样本数据的方差为，则数据的方差为；
②回归方程为时，变量与具有负的线性相关关系；
③随机变量服从正态分布，，则；
④在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，当样本相关系数越接近时，样本数据的线性相关程度越强.
A.个 B.个 C.个 D.个
【答案】B
【解析】
【分析】根据方差的性质、回归直线的意义、正态分布曲线的对称性和相关系数的意义依次判断各个选项即可.
【详解】对于①，由方差的性质可知：数据的方差为，①错误；
对于②，由回归方程知：，则变量与具有负的线性相关关系，②正确；
对于③，由正态分布曲线的对称性可知：，③错误；
对于④，由相关系数意义可知：越接近时，样本数据的线性相关程度越强，④正确.
故选：B.
4.已知实数满足约束条件则的最大值是（）
A.3 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】画出可行域，向上平移基准直线到可行域边界位置，由此求得的最大值.
【详解】
画出可行域如下图所示，向上平移基准直线到可行域边界点的位置，此时取得最大值为.
故选：B.
5.已知为单位向量，且，则与的夹角为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由向量数量积的运算律可构造方程求得，再结合向量数量积定义、运算律和向量夹角公式可求得结果.
【详解】为单位向量，，
，解得：，
，，
，又，.
故选：A.
6.若则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数，利用导数判断函数单调性，再结合对数的性质即可判断大小关系.
【详解】因为，，，
当时，设，
则，
所以在上单调递减且，
所以，
即，所以；
又因为，所以，，即，
所以.
故选：A.
7.在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数，公式和定理，若正整数只有1为公约数，则称互质，对于正整数是小于或等于的正整数中与互质的数的个数，函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，.记为数列的前项和，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意分析可得，结合等比数列求和公式运算求解.
【详解】由题意可知：若正整数与不互质，则为3的倍数，共有个，
故，
∵，即数列是以首项，公比的等比数列，
故.
故选：D.
8.函数的图象关于直线对称，将的图象向左平移个单位长度后与函数图象重合，下列说法正确的是（）
A.函数图象关于直线对称
B.函数图象关于点对称
C.函数在单调递减
D.函数最小正周期为
【答案】C
【解析】
【分析】由对称性求得，由图象平移变换求得，然后结合正弦函数的对称性，单调性，周期判断各选项．
【详解】由已知，，，又，∴，
，
，A错；
，B错；
时，，C正确；
的最小正周期是，D错．
故选：C．
9.在Rt中，.以斜边为旋转轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体内切球的体积为（）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据旋转体的概念得出该旋转体是两个共底面的圆锥的组合体，作出轴截面，得出内切球于心位于对称轴上，由平行线性质求得球半径后可得球体积．
【详解】由题意该几何体是两个共底面的圆锥的组合体，如图是其轴截面，
由对称性知其内切球球心在上，到的距离相等为球的半径，设其为，
因为是直角，所以是正方形，即，
由得，即，解得，
球体积为．
故选：C．
10.如图所示，在等腰梯形中，，现将梯形依次绕着各点顺时针翻转，则在第一次绕着点翻转的过程中，对角线扫过