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6.3二项式定理
第六章计数原理
6.3二项式定理
6.3.1二项式定理
例1求的展开式.
解：根据二项式定理，
.
例2（1）求的展开式的第4项的系数；
（2）求的展开式中的系数.
解：（1）的展开式的第4项是
.
因此，展开式第4理的系数是280.
（2）的展开式的通项是
.
根据题意，得
，
.
因此，的系数是
.
练习
1．写出的展开式.
2．求的展开式的第3项.
3．写出的展开式的第项.
4．的展开式的第6项的系数是
A． B． C． D．
5．在的展开式中，含的项的系数是________.
6.3.2二项式系数的性质
例3求证：在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
分析：奇数项的二项式系数的和为
，
偶数项的二项式系数的和为
.
由于
中的a，b可以取任意实数，因此我们可以通过对a，b适当赋值来得到上述两个系数和.
证明：在展开式
中，令，，则得
.
即
.
因此，
，
即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
练习
6．填空题
（1）________；
（2）________.
7．证明：（n是偶数）.
8．写出n从1到10的二项式系数表.
9．若一个集合含有n个元素，则这个集合共有多少个子集？
习题6.3
复习巩固
1.选择题
10．在的展开式中，含的项的系数是（????）
A．74 B．121 C． D．
11．的展开式中的系数为15，则（????）.
A．7 B．6 C．5 D．4
12．在的展开式中，的系数是__________.
13．用二项式定理展开：
（1）；
（2）.
14．化简：
(1)；
(2).
15．（1）求的展开式的前4项；
（2）求的展开式的第8项；
（3）求的展开式的中间一项；
（4）求的展开式的中间两项.
16．求下列各式的二项展开式中指定各项的系数.
（1）的含的项；
（2）的常数项.
综合运用
17．证明：
（1）的展开式中常数项是；
（2）的展开式的中间一项是.
18．已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，求这两项的二项式系数.
19．用二项式定理证明：
（1）能被整除；
（2）能被1000整除.
拓广探索
20．求证：.
21．如图反映了二项式定理产生、完备和推广所走过的漫长历程：
（1）在上述发展过程中，无论是推广还是证明，都是从特殊到一般，如今，数学研究的一个发展趋势就是尽可能地一般化.请你试一试，从推广到（m，）.
（2）请你查阅相关资料，细化上述历程中的某段过程，例如从3次到n次，从二项到m项等，说说数学家是如何发现问题和解决问题的.
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参考答案：
1．
【分析】直接根据二项式定理展开即可；
【详解】解：
2．
【分析】利用二项式展开式的通项公式代入即可.
【详解】的展开式的第项为
当时，
3．
【分析】直接根据二项展开式的通项公式求解.
【详解】根据二项式展开式的通项公式可知，
，
即展开式的第项为
4．C
【分析】先写出二项式展开式的通项，通过通项求解.
【详解】由题得，
令r=5,所以，
所以的展开式的第6项的系数是.
故选C
【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
5．-15.
【分析】在的展开式中含的项即从5个因式中取4个，1个常数即可写出含的项，则可得到答案.
【详解】在的展开式中含的项即从5个因式中取4个，1个常数,
所以含的项为.
所以展开式中，含的项的系数是-15.
6．????1024????
【分析】根据组合数的性质计算即可.
【详解】（1）由组合数的性质可得；
（2）由组合数的性质知，，
，
所以.
故答案为：1024；
7．证明见解析
【分析】由分别令和可得.
【详解】，
令，得，
令，得，
两式相加得，
.
8．见解析
【分析】利用二项式定理求解即可
【详解】解：n从1到10的二项式系数表：
9．
【分析】根据子集的定义、元素与集合之间的关系和分步计数原理即可得出答案.
【详解】对于集合中的任意一个元素，它与子集的关系都有且仅有两种选择：“属于”与“不属于”，由分布乘法计数原理，集合中的n个元素在子集中的情况共有种，故这个集合共有个子集.
10．D
【分析】根据，利用通项公式得到含的项为：，进而得到其系数，
【详解】因为在，
所以含的项为：，
所以含的项的系数是的系数是，
，
故选：D
【点睛】本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题，
11．B
【分析】由题意利用二项展开式的通项公式求得的系数，再根据的系数为15，求得的值．
【