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8.5空间直线、平面的平行
8.5空间直线、平面的平行
8.5.1直线与直线平行
例1如图8.5-3，空间四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点.求证：四边形是平行四边形.
分析：要证明四边形是平行四边形，只需证明它的一组对边平行且相等.而，分别是和的中位线，从而它们都与平行且等于的一半.应用基本事实4，即可证明.
证明：连接.
∵是的中位线，
∴，且.
同理，且.
∴
∴四边形为平行四边形.
练习
1．如图，把一张矩形纸片对折几次，然后打开，得到的折痕互相平行吗？为什么？
2．如图，在长方体中，与棱平行的棱共有几条？分别是什么？
3．如图，不共面，且，，求证：.
4．如图，在四面体中，分别为上的点.若，，则和有什么关系？为什么？
8.5.2直线与平面平行
例2求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面.
已知：如图8.5-7，空间四边形中，E，F分别是，的中点.
求证：平面.
证明：连接.
∵，，
∴.
又平面，平面，
∴平面.
例3如图8.5-10（1）所示的一块木料中，棱平行于面.
（1）要经过面内的一点P和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？
（2）所画的线与平面是什么位置关系？
分析：要经过面内的一点P和棱将木料锯开，实际上是经过及外一点P作截面，也就需要找出所作的截面与相关平面的交线.我们可以依据直线与平面平行的性质定理、基本事实4和推论1画出所需要的线段.
解：（1）如图8.5-10（2），在平面内，过点P作直线，使，并分别交棱，于点E，F，连接，，则，，就是应画的线.
（2）因为棱平行于平面，平面与平面相交于，所以.由（1）知，，所以.而在平面内，在平面外，所以平面.
显然，，都与平面相交.
练习
5．如图，在长方体的六个面所在的平面中，
（1）与平行的平面是______；
（2）与平行的平面是______；
（3）与平行的平面是______.
6．如图，在正方体中，E为的中点，判断与平面的位置关系，并说明理由.
7．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
（1）如果直线，那么a平行于经过b的任何平面.()
（2）如果直线a与平面满足，那么a与内的任何直线平行.()
（3）如果直线和平面满足，，那么.()
（4）如果直线和平面满足，，，那么.()
8．如图，，，，，求证.
8.5.3平面与平面平行
例4已知正方体（图8.5-16），求证：平面平面.
证明：∵为正方体，
∴，.
∴.
∴四边形为平行四边形.
∴.
又平面，平面，
∴平面.
同理平面.
又，
∴平面平面.
例5求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等.
如图8.5-19，，，且，，，，求证.
证明：过平行线，作平面，与平面和分别相交于和.
∵，
∴.
又，
∴四边形是平行四边形.
∴.
练习
9．判断下列命题是否正确.若正确，则说明理由；若错误，则举出反例.????
（1）已知平面和直线，若，，，则.
（2）若一个平面内两条不平行的直线都平行于另一个平面，则.
（3）平行于同一条直线的两个平面平行.
（4）平行于同一个平面的两个平面平行.
（5）一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交.
10．平面与平面平行的充分条件可以是（????）
A．内有无穷多条直线都与平行
B．直线，，且直线a不在内，也不在内
C．直线，直线，且，
D．内的任何一条直线都与平行
11．如图所示，正方体中，、、、分别是棱、、、的中点.求证：平面平面.
12．如图，平面.判断c与a，c与的位置关系，并说明理由.
习题8.5
复习巩固
选择题
13．若直线a不平行于平面,则下列结论成立的是
A．内的所有直线都与直线a异面
B．内不存在与a平行的直线
C．内的直线都与a相交
D．直线a与平面有公共点
14．已知直线l和平面α，若l∥α，P∈α，则过点P且平行于l的直线（????）
A．只有一条，不在平面α内
B．只有一条，且在平面α内
C．有无数条，一定在平面α内
D．有无数条，不一定在平面α内
15．已知平面和直线a，b,c，，则与的位置关系是________.
16．如图，在长方体木块中，面上有一点P，怎样过点P画一条直线与棱CD平行？
17．如图，在长方体中，E，F分别是AB，BC的中点，求证.
18．如图，在四面体D-ABC中，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，求证：
(1)平面EFG；
(2)平面EFG.
19．如图，a，b是异面直线，画出平面，使，且，并说明理由.
20．如图，，求证.
21．如图，直线相交于点O，，求证：平面ABC//平面.
综合运用
22．如