第1课时基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
[考试要求]1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.3.能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图．
1．空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
互相平行且全等
多边形
互相平行且相似
侧棱
平行且相等
相交于一点但不一定相等
延长线交于一点
侧面形状
平行四边形
三角形
梯形
(2)特殊的棱柱
①侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.
②侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.
③底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.
④底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体.
(3)正棱锥
底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．
(4)旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相平行且相等，垂直于底面
相交于
一点
延长线交于
一点
轴截面
矩形
等腰三角形
等腰梯形
圆面
侧面
展开图
矩形
扇形
扇环
2．立体图形的直观图
(1)画法：常用斜二测画法.
(2)规则：
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直.
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
4．柱、锥、台、球的表面积和体积
名称
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝eq\f(1,3)Sh
台体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h
球
S＝4πR2
V＝eq\f(4,3)πR3
[常用结论]
1．与体积有关的几个结论
(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．
(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理)．
2．直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图＝eq\f(\r(2),4)S原图形，S原图形＝2eq\r(2)S直观图．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(×)
(2)菱形的直观图仍是菱形．(×)
(3)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方．(×)
(4)底面是正多边形的棱锥是正棱锥．(×)
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第二册P119练习T2改编)若一个球的表面积是16π，则这个球的体积为()
A．eq\f(16,3)π B．eq\f(32,3)π
C．16π D．24π
B[设球的半径为R，则S＝4πR2＝16π，解得R＝2，则球的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π.]
2．(人教A版必修第二册P106习题8.1T8改编)如图所示，长方体ABCD-A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是()
A．棱台 B．四棱柱
C．五棱柱 D．简单组合体
C[由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱．]
3．(人教A版必修第二册P119练习T1改编)已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()
A．1cm B．2cm
C．3cm D．eq\f(3,2)cm
B[设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l.因为侧面展开图是一个半圆，所以πl＝2πr，即l＝2r，所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2.]
4．(人教A版必修第二册P120习题8.3T3改编)如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝16.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．当底面ABC水平放置时，液面高为________.
12[设△ABC的面积为a，底面ABC水平放置时，液面高为h，侧面AA1B1B水平放置时，水的体积为V＝eq\f(3,4)S△ABC·AA1＝eq\f(3,4)a·16＝12a.
当底面ABC水平放置时，水的体积为V＝S△ABCh＝ah，于是ah＝12a，解得h＝12，
所以当底面ABC水平放置时，液面高为12.]
考点一基本立体图形
结构特征
[典例1]下