;;[考试要求]1.了解两个事件相互独立的含义.2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率．;;2．条件概率;3．全概率公式

一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B?Ω，有P(B)＝

________________，我们称该公式为全概率公式．;[常用结论]

1．事件的关系与运算;3．P(AB)求法

(1)古典概型；(2)相互独立事件：P(AB)＝P(A)·P(B)；(3)概率的乘法公式P(AB)＝P(A)·P(B|A)．;一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)相互独立事件就是互斥事件．()

(2)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)·P(B)都成立．()

(3)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率．()

(4)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．();二、教材经典衍生

1．(多选)(人教A版必修第二册P266复习参考题10T1改编)袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”记为B，其对立事件记为C，那么事件A与B，A与C的关系是()

A．A与B相互独立 B．A与C相互独立

C．A与C互斥 D．A与B互斥

AB[由于摸球过程是有放回地，所以第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故事件A与B，A与C均相互独立，且A与B，A与C均有可能同时发生，说明A与B，A与C均不互斥．];2．(人教A版选择性必修第三册P46例1改编)在5道题中有3道代数题和2道几何题．如果不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到几何题的条件下，第2次抽到代数题的概率为();3．(人教A版必修第二册P253练习T3改编)天气预报：元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为()

A．0.2 B．0.3

C．0.38 D．0.56;;√;1.两个事件是否相互独立的判断

(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．

(2)公式法：若P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A，B为相互独立事件．

2．求相互独立事件同时发生的概率的方法

(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立．

(2)求相互独立事??同时发生的概率的方法主要有：

①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．

②正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算．;[跟进训练]

1．(1)(2024·上海高考)有四个礼盒，前三个里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件A：所选盒中有中国结，事件B：所选盒中有记事本，事件C：所选盒中有笔袋，则()

A．事件A与事件B互斥

B．事件A与事件B相互独立

C．事件A与事件B∪C互斥

D．事件A与事件B∩C相互独立;(2)11分制乒乓球比赛，每赢1球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．已知甲、乙两位同学进行11分制乒乓球比赛，双方10∶10平后，甲先发球，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．

①求事件“两人又打了2个球比赛结束”的概率；

②求事件“两人又打了4个球比赛结束且甲获胜”的概率．;考点二条件概率

[典例2](1)(2023·全国甲卷)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为()

A．0.8 B．0.6

C．0.5 D．0.4

(2)一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，若从中一次性任取3球，则恰有一个白球的概率是________；若从中不放回地取球2次，每次任取1球，记“第一次取到红球”为事件A,“第二次取到红球”为事件B，则P(B|A)＝________.;求条件概率的两种方法

;[跟进训练]

2．(1)(2024·天津高考)有A，B，C，D，E五个活动，甲、乙都要选择三个活动参加．甲选到A的概率为____________；已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为___________.

(2)(2022·天津高考)现有52张扑克牌(去掉大小王)，每次取一张，取后不放回，则两次都抽到A的概率为________；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为________________．;考点三全概率公式的应用

[典例3