指向数学模型观念培养的项目化学习
摘要：项目化学习旨在通过项目促进学生探究、协作、批判性思考和解决问题的能力，是培养学生数学模型观念的有效方法.教师可综合分析教材及学情以确定学习主题，关注素养以制订学习目标，然后引导学生自主学习，探究学习主题.教师要提出问题，引导学生寻找问题的切入点，收集信息并分析问题的数量关系，然后协助学生探究，讨论问题的解决途径，并以个性展示总结问题的本质规律.教师还要有目的地对项目进行计划、管理和评估，对学生的项目成果实施过程性评价和终结性评价相结合的方式，以综合考量学生的项目成果和行为表现.
关键词：项目化学习；数学模型观念；哥尼斯堡七桥问题
项目化学习“是一种促进以学生为主、对现实世界的主题或问题进行探究的创新方法”[1]，旨在通过项目提高学生探究、协作、批判性思考和解决问题的能力，是培养学生数学模型观念的有效方法.其流程大致可以分为“提出问题、建立联系、个性展示”三个阶段[2]，以及“学情分析、教材分析、确定学习主题、选择认知策略、开展探究活动、取得最终成果和选择展示方式、形成性评价和终结性评价”七个部分.以下，笔者以“哥尼斯堡七桥问题”为情境，构建初中数学项目化学习模式.项目化教学流程详见图1.
一、综合分析，确定学习主题并制订学习目标
主题是项目化学习的核心.开展探究、展示、反思等活动始终需要围绕某个主题进行，因此在确定项目化学习研究主题前，教师应先在研习课标的基础上综合分析教材和学生需求，再设计出符合学生认知基础、贴近学生实际生活的主题.
（一）分析教材及学情，确定学习主题
笔者翻阅国内许多版本小学到高中的数学教材发现，“哥尼斯堡七桥问题”（以下简称“七桥问题”）在北师大版高三、湘教版高二、人教版六年级等都有出现，由此可见其适用于小学高段及以上学生学习.此外，笔者通过对学生问卷调查和个别面谈发现，初中生虽然欠缺对实际问题的理解，综合实践能力较弱，但“一次性不重复走完七座桥并回到出发点”这一探究设定引起了他们极大的兴趣.因此，笔者确定此次项目化学习以学生为主，教师为辅.“七桥问题”属于路线规划问题，学生经充分探讨，将此次项目化学习主题确定为“用一笔画探究七桥问题”，然后围绕主题进行调查、实践、文章撰写、小组合作等活动.
（二）关注素养，制订学习目标
指向数学模型观念培养的项目化学习应聚焦“提出问题、收集信息、工具选择、方案设计和改进”等方面，因此针对“用一笔画探究七桥问题”学习主题，笔者制订以下学习目标.
（1）分组讨论，描述“七桥问题”的主要特征.
（2）分组搜集资料，确定研究“七桥问题”的方案.
（3）与其他小组交流并互换意见，形成文章或报告，并在课堂上展示.
二、自主学习，探究学习主题
传统教学受多重因素限制，如依赖课本和家庭作业、单一的师生交流等，这些因素都会影响学生的创新精神和应用意识，不利于学生建立模型观念.因此，笔者充分调动学生的学习兴趣，使其运用“提出问题、收集信息、协助探究、个性展示”等高阶认知策略，对“七桥问题”进行深入探究.
（一）提出问题，寻找问题的切入点
在项目化学习中，教师是学习的引导者，而不是主导者.换句话说，教师需要指导学生对项目进行规划，并在学生需要的时候协助他们.
问题呈现：流经哥尼斯堡的河上有七座桥，有人想从某处出发，经过这七座桥再回到出发点，而且任一桥不走第二次.他能完成吗？
学生对这个问题产生了浓厚的兴趣，主动和同桌讨论，有的甚至直接开始画路线图.在活动中学生发现，“七桥问题”其实可以简化为“一笔画问题”，将七座桥看成七个点，如果能将七个点一笔画完并回到起始点，这个问题就可以解决.
（二）收集信息，分析问题的数量关系
项目化学习具有开放性的特点，开展教学活动时不必局限于课内，而是可以将课堂从课内延伸到课外，扩展学生的活动范围.学生可以通过上网查阅资料，翻看相关书籍，小组合作做实验等途径来解决问题.
为了帮助学生围绕主题完成调查和探究，笔者在正式开课前三天发布所要研究的问题及其涉及的背景知识和使用工具，安排学生以小组为单位收集资料、制订计划和研究路线，让学生有心理预期，以使课堂交流更有效、深入.
（三）协助探究，讨论问题的解决途径
1.学生展示思路，提出解决问题的基本思路
由于各小组之间的研究进度会有所差异，笔者通过调查、提问了解各小组的研究进度，并邀请某小组分享研究进度.
师：同学们，通过查阅资料，你们是如何研究“七桥问题”的？
生：我们小组通过查阅资料，发现“七桥问题”牵扯到一笔画模型，课前我们已经画出简图，由于这个简图相对复杂，我们决定先研究基本图形.我们选取三角形、正方形、圆形等基本图形进行一笔画研究，以正方形及其三种变式为典型代表（详见图2），发现前三幅图都可以一笔画出来，只有变3不能.经过讨论，我们发现前三幅图分别有4、6、5个交点，而