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6.4平面向量的应用
6.4平面向量的应用
6.4.1平面几何中的向量方法
例1如图6.4-1，是的中位线，用向量方法证明：，.
分析：我们在初中证明过这个结论，证明中要加辅助线，有一定难度.如果用向量方法证明这个结论，可以取为基底，用，表示，，证明即可.
证明：如图6.4-2，因为是的中位线，所以
，.
从而.
又，
所以，
于是，.
例2如图6.4-3，已知平行四边形，你能发现对角线和的长度与两条邻边和的长度之间的关系吗？
分析：平行四边形中与两条对角线对应的向量恰是与两条邻边对应的两个向量的和与差，我们可以通过向量运算来探索它们的模之间的关系.
解：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题：
如图6.4-4，取为基底，设，，则
，.
第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系：
，
.
上面两式相加，得.
第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：
.
练习
1.证明：等腰三角形的两个底角相等.
2.如下图，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M，求的余弦值.
3.如下图，在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.设，，求的值.
6.4.2向量在物理中的应用举例
例3在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗？
分析：不妨以两人共提旅行包为例，只要研究清楚两个拉力的合力、旅行包所受的重力以及两个拉力的夹角三者之间的关系，就可以获得问题的数学解释.
解：先来看共提旅行包的情况.如图6.4-5，设作用在旅行包上的两个拉力分别为，，为方便起见，我们不妨设.另设，的夹角为，旅行包所受的重力为.
由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道
.
这里，为定值.分析上面的式子，我们发现，当由0逐渐变大到时，由0逐渐变大到，的值由大逐渐变小，此时由小逐渐变大；反之，当由逐渐变小到0时，由逐渐变小到0，的值由小逐渐变大，此时由大逐渐变小.这就是说，，之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力.同理，在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.
事实上，要使最小，只需最大，此时，可得.于是的最小值为，若要使，只需，此时，即.
例4如图6.4-6，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要多长时间（精确到0.1min）？
分析：如果水是静止的，那么船只要取垂直于河岸的方向行驶，就能使航程最短，此时所用时间也是最短的.考虑到水的流速，要使航程最短，船的速度与水流速度的合速度必须垂直于河岸.
解：设点B是河对岸一点，与河岸垂直，那么当这艘船实际沿着方向行驶时，船的航程最短.
如图6.4-7，设，则
.
此时，船的航行时间
.
所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要3.1min.
练习
1.一物体在力F的作用下，由点移动到点.已知，求对该物体所做的功.
2.如图，一滑轮组中有两个定滑轮A，B，在从连接点O出发的三根绳的端点处，挂着3个重物，它们所受的重力分别为4N，4N和.此时整个系统恰处于平衡状态，求的大小.
3.若平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态，已知，，与的夹角为，求：
（1）的大小；
（2）与夹角的大小.
6.4.3余弦定理、正弦定理
例5在中，已知，，，解这个三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）.
解：由余弦定理，得
，
所以.
由余弦定理的推论，得
，
利用计算器，可得.
所以.
例6在中，，，锐角C满足，求B（精确到1°）.
分析：由条件可求，再利用余弦定理及其推论可求出B的值.
解：因为，且C为锐角，
所以.
由余弦定理，得
，
所以.
进而.
利用计算器，可得.
练习
1.（1）在中，已知，，，解这个三角形（角度精确到，边长精确到0.1cm）；
（2）在中，已知，，，求C.
2.在中，已知，，，解这个三角形.
例7在中，已知，，，解这个三角形.
解：由三角形内角和定理，得
.
由正弦定理，得
，
.
例8在中，已知，，，解这个三角形.
分析：这是已知三角形两边及其一边的对角求解三角形的问题，可以利用正弦定理.
解：由正弦定理，得
.
因为，，
所以.
于是，或.
（1）当时，.
此时
.
（1）当时，.
此时
.
由三角函数的性质可知，在区间内，余弦函数单调递减，所以利用余弦定理求角，只有一解；正弦函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以利用正弦定理求角