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4.4数学归纳法
第四章数列
4．4数学归纳法
例题
1．用数学归纳法证明：如果是一个公差为d的等差数列，那么对任何都成立．
练习
2．下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？
（1）求证：当时，．
证明：假设当时，等式成立，即．
则当时，左边=右边．
所以当时，等式也成立．
由此得出，对任何，等式都成立．
（2）用数学归纳法证明等差数列的前n项和公式是．
证明，①当时，左边=，右边，等式成立．
②假设当时，等式成立，即．则当时，
，
．
上面两式相加并除以2，可得
，
即当时，等式也成立．
由①②可知，等差数列的前n项和公式是
3．用数学归纳法证明，首项为，公比为q的等比数列的通项公式是，前n项和公式是．
例题
4．用数学归纳法证明.
5．已知数列满足，，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
6．设x为正实数，n为大于1的正整数，若数列1，，，…，，…的前n项和为，试比较与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论．
练习
7．用数学归纳法证明：
8．若数列，，，…，，…的前n项和为，计算，，，由此推测计算的公式，并用数学归纳法进行证明．
9．观察下列两个数列，：
数列：1，4，9，16，25，36，49，64，81，…；
数列：2，4，8，16，32，64，128，256，512，…．
猜想从第几项起小于，并证明你的结论．
10．猜想满足，的数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．
习题4．4
一．选择题
11．用数学归纳法证明下列等式：．要验证当时等式成立，其左边的式子应为（）
A． B． C． D．
二．解答题
12．用数学归纳法证明：
（1）；
（2）；
（3）．
13．已知数列满足，．计算，，，由此猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．
14．已知数列，，，…，，…的前n项和为．计算，，，，由此猜想的表达式，并用数学归纳法证明．
15．用数学归纳法证明：．
16．已知数列，的通项公式分别为，，其中，试推断对哪些正整数n成立，证明你的结论．
17．已知数列满足，．试用数学归纳法证明并比较与的大小关系．
18．证明：能够被6整除．
19．一本旧教材上有一个关于正整数n的恒等式？
其中问号处由于年代久远，只能看出它是关于n的二次三项式，具体的系数已经看不清楚了．请你猜想这个恒等式的形式，并用数学归纳法证明．
20．已知命题：设，为非负实数，，为正实数，若，则．请将该命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．