专题35空间向量及其应用
知识必备
1空间向量的有关概念
名称
概念
表示
零向量
大小为0的向量
0
单位向量
大小为1的向量
相等向量
方向相同且大小相等的向量
a=b
相反向量
方向相反且大小相等的向量
a的相反向量为a
共线向量
方向相同或方向相反的向量
a//b
共面向量
平行于同一个平面的向量
2空间向量的运算
空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样，
OB
空间向量的数量积：
（1）概念：已知空间两个向量a，b
（2）性质：a⊥
（3）运算律：λa
3空间向量中的有关定理
（1）共线向量定理
对空间任意两个向量a，ba≠0，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使得
（2）共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，那么向量c与向量a，b共面的充要条件是存在且唯一有序实数组x，y，使得c=xayb
（3）空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一一个有序实数组x，y，z，使p=x
4空间向量的坐标表示及其应用
设a=
①模长：a=
②加法：ab
③减法：ab
④数乘：λa
⑤数量积：a?
空间向量证明平行和垂直：设a=
①平行条件：x1
②垂直条件：x1
5空间位置关系的向量表示
（1）直线的方向向量：直线l上的向量ee≠0以及与e共线的非零向量叫做直线l
（2）平面的法向量：如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α，此时，我们把向量n叫做平面α的法向量.
（3）
位置关系
向量表示
直线l1，
l
l
l
l
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m
l//α
l//α?n?m=0
l⊥α
l⊥α?n=λm
平面α，β的法向量分别为n，m
α//β
α//β?n=λm
α⊥β
α⊥β?n?m=0
6空间向量应用——求夹角求距离
?求夹角
（1）求两条直线所成的角：设直线l1，l2的方向向量分别为v1
cosθ=
（2）求直线和平面所成的角：设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为n，则l与α所成角θ满足：
sinθ=
（3）求两个平面所成的角（二面角）：设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α，β所成的二面角θ满足：cosθ=
?求距离
（1）求点到平面的距离：
①等体积法；
②空间向量法：定点A到平面α的距离，可设平面α的法向量为n，面α内一点B，则点A到平面α的距离为AB?
（2）求直线到平面的距离（由于平行，转化为点到平面距离）：
①等体积法；
②空间向量法：直线l到平面α的距离，可设平面α的法向量为n，直线l上任一点A，面α内一点B，则点A到平面α的距离为AB?
（3）求异面直线间距离：
①找到公垂线；
②空间向量法：可设直线l和m的公垂线的方向向量为n，在两条直线上分别找到A、B，则异面直线的距离为AB?
典型例题
考点一空间向量及运算
【例题1】下列说法正确的是（）
A若向量a，b共线，则向量a，
B若a，b，c是空间三个向量，则对空间任一向量p，总存在唯一的有序实数组
C若向量a、b所在的直线是异面直线，则向量a、
D若三个向量a、b、c
【例题2】如图所示，已知斜三棱柱ABCA1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足AM
【例题3】对于空间一点O和不共线三点A，B，C，且有2OP
AO，A，B，C四点共面 BP，A，B，C四点共面
CO，P，B，C四点共面 DO，P，A，B，C五点共面
【例题4】在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（）
AOM=2OAOBOC
CMA2MBMC=0
【例题5】如图，三棱锥OABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设OA=a，OB=b，
A12abc
C12abc
【例题6】如图，棱长为1的正四面体ABCD中，M为棱BC的中点，则AM
A14 B14
C0 D12
【例题7】如图，在直三棱柱ABCA1B1C1
【例题8】已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为
A0，1，2 B0，2，1
C2，1，0 D1，2，1
【例题9】已知空间向量a=2，1，4，b
A14 B6
C10 D12
【例题10】向量a=
Aa//b，a//
Ca⊥b，a//
【例题11】已知向量a=1，1，0，b=1，0，2，且
A2 B2
C1 D1
【例题12】若A2，2，0，B
A1 B4
C6 D2
【例题13】若Am1，n
【例题14】已知空间向量a=1，2，
A10 B33
C4，2，12 D5，0，
【例题15】已知点A，B，C的坐标分别为0，1，0，1，0，1，2，1，1，点P的坐标为x，0，z，若
【例题16】已知向量a=1，2，x，向量b=2，3，4
【例题17】a=2，
【例题18】设a⊥b，?a
A1763 B17
C63 D9