第2课时常用逻辑用语
[考试要求]1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p?q且q/?p
p是q的必要不充分条件
p/?q且q?p
p是q的充要条件
p?q
p是q的既不充分也不必要条件
p/?q且q/?p
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“?”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“?”表示．
3．全称量词命题和存在量词命题
名称
全称量词命题
存在量词命题
结构
对M中任意一个x，p(x)成立
存在M中的元素x，p(x)成立
简记
?x∈M，p(x)
?x∈M，p(x)
否定
?x∈M，綈p(x)
?x∈M，綈p(x)
提醒：含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”，即两变一不变，量词与结论变，条件不变．
[常用结论]
设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B.
(1)p是q的充分不必要条件?；
(2)p是q的必要不充分条件?；
(3)p是q的充要条件?A＝B；
(4)p是q的既不充分也不必要条件?A与B没有包含关系．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件．(√)
(2)“x1”是“x0”的充分不必要条件．(√)
(3)“三角形的内角和为180°”是存在量词命题．(×)
(4)写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词．(√)
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第一册P31习题1.5T3改编)已知命题p：?n∈N*，n2n－1，则命题p的否定为()
A．?n∈N*，n2≤n－1
B．?n∈N*，n2n－1
C．?n∈N*，n2≤n－1
D．?n∈N*，n2n－1
C[由全称量词命题的否定为存在量词命题，可得命题p：?n∈N*，n2n－1的否定綈p为“?n∈N*，n2≤n－1”．]
2.(人教A版必修第一册P22习题1.4T2(2)改编)“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根”是“b2－4ac≥0(a≠0)”的(C)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．(多选)(人教A版必修第一册P31习题1.5T1、T2改编)下列命题是全称量词命题且为真命题的是(AD)
A．?x∈R，x2－x＋10
B．?x∈R，sinx＝2
C．存在一个无理数，它的平方是有理数
D．平面内，到A，B两点距离相等的点都在线段AB的垂直平分线上
4．(人教B版必修第一册P38习题1－2BT5改编)已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的必要不充分条件，则实数a的取值范围为[3，＋∞).
考点一充分、必要条件
充分、必要条件的判定
[典例1](2023·天津高考)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
B[由a2＝b2，即(a＋b)(a－b)＝0，解得a＝－b或a＝b，由a2＋b2＝2ab，即(a－b)2＝0，解得a＝b，故“a2＝b2”不能推出“a2＋b2＝2ab”，充分性不成立，“a2＋b2＝2ab”能推出“a2＝b2”，必要性成立，故“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B.]
充分、必要条件的探求
[典例2]若x，y∈R，则“xy”的一个充分不必要条件可以是()
A．eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(y)) B．x2y2
C．eq\f(x,y)1 D．2x－y2
D[由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(y))，x2y2推不出xy，排除AB；
由eq\f(x,y)1可得eq\f(x－y,y)0，解得xy0或xy0，所以eq\f(x,y)1是xy的既不充分也不必要条件，排除C；2x－y2?xy，反之不成立，D正确．故选D.]
充分、必要条件的应用
[典例3]请在①充分不必要；②必要不充分；③充要中任选一个，补充在横线处，并解答．
已知集合A＝{xeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－12≤0))}，B＝{x|x2－2x＋1－m2≤0，m0}，且“x∈A”