专题28平面向量的概念及运算
知识必备
1向量的相关概念
（1）向量的概念：既有大小又有方向的量叫做向量.
（2）向量的表示
①有向线段：在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段.
以A为起点，B为终点的有向线段记作AB，线段AB的长度也叫做有向线段AB的长度，记作AB.
②向量的表示：向量可以用有向线段AB来表示，我们把这个向量记作向量AB有向线段的长度AB表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.
注意：向量也可以用字母a，b表示，书写用a，
③向量的模：向量的大小AB，也是向量AB的长度，记作AB.
特殊向量
零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0注意：零向量方向任意.
单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.
注意：零向量只有一个，单位向量无数个.
（3）向量的关系
①平行向量：方向相同或相反的向量，又叫共线向量规定：0与任意向量平行即0//a.
②相等向量：大小相等且方向相同的向量a，b是相等向量，则a
③相反向量：大小相等且方向相反的向量a，b是相反向量，则
2向量的线性运算
?向量的加法运算
（1）向量加法的平行四边形法则：以O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作?OACB，则以O为起点的向量OC就是向量a和
对于零向量与任意向量a，我们规定：a0
（2）向量加法的三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做
求两个向量的和运算，叫做向量的加法.
一般地，我们有ab≤a
（3）向量的多边形法则：
向量首尾相连，则所有向量之和为起点指向最后一个向量终点如ABBCCD
（4）向量加法的运算性质：
①交换律：ab
②结合律：ab
?向量的减法
（1）相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a.
规定：零向量的相反向量仍是零向量.
（2）向量的减法：向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差，即ab
求两个向量差的运算叫做向量的减法.
（3）向量减法的几何意义：已知向量a，b，平面内任取一点O，作OA=
即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a
?向量的数乘运算
（1）一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa
①λa
②当λ0时，λa的方向与a的方向相同；当λ0时，λa的方向与
当λ=0时，λa
（2）向量数乘的运算性质：
①λμ
②λμ
③λa
特别地，我们有λ
λ
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算向量线性运算的结果仍是向量，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1
3向量共线定理
定理：向量aa≠0与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ
4平面向量数量积
?定义
（1）已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA=a
①当θ=0时，a和b同向；当θ=π时，a和b反向.
②当θ=π2时，a与b垂直，记作
（2）已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量a∕∕bcosθ叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
（3）如图，设a，b是两个非零向量，AB=a，CD=b，过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂是分别为
AB在CD上的投影向量为A1B1，AB在CD
?向量数量积的性质
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是
①a⊥
②当a与b同向时，a?b=a∕∕b；当a与b反向时，a
③a?
?向量数量积满足的运算律：
①a
②λ
③a
注意：数量积不满足结合律a?
典型例题
考点一平面向量的有关概念
【例题1】判断下列说法正确的有________
①向量AB的长度与向量BA的长度相等；
②有向线段就是向量，向量就是有向线段；
③向量的大小与方向有关；
④向量的模可以比较大小.
【例题2】下列说法正确的是（）
A零向量没有大小，没有方向 B零向量是唯一没有方向的向量
C零向量的长度为0 D任意两个单位向量方向相同
【例题3】下列关于平面向量的说法中不正确的是（）
A已知a与b均为非零向量，则a//b?存在唯一的实数λ，使得
B若向量AB，CD共线，则点A，B，C，D
C若a?c=b?c
D两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
考点二向量的线性运算
【例题4】（1）如图，在矩形ABCD中，AO
AAB BAC
CAD DBD
（2）如图，正六边形ABCDEF中，BA
A0 BBE
CAD DDF
【例题5】如图，在△ABC中，C为BD的中点，E为AB上一点，则AB
A2AE B2BD
CAE DBD
【例题6】如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则AF
AFD BFC
CFE DBE
【例题7】下列各