2022年北京大学强基计划笔试数学试题
备注：数学一共20道题目
1.已知2〃+1与3〃+1均为完全平方数且〃超过2022,则正整数〃的个数为
【答案】1
【解析】
【分析】根据题意整理可得：（3q）2-6人2=3,构建佩尔方程x2-6y2=3,先结合题意
得3^189,再根据广义佩尔方程通解可得
_（3+2砰5+2如+（3一2佝（5一2如,再根据特征方程可得二阶线性递推匕
与一2
式xk+1=10改+i-xk,代入检验判断.
【详解】设2〃+1=。2,3〃+1=//
化简得到3屏—2）2=1，即（3q）2-6^=3,
由于（3,1）为佩尔方程x2-6y2=3的一组解，由佩尔方程的性质知其有无穷多组解，
对其任意一组解（改,义），由于云=6/+3,所以叫为被3整除的正奇数.
则。=玉,〃=巳土，知这样的〃均为正整数.
32
由于1〃2022,知1vq63,所以3x,189,
（5,2）为佩尔方程x2-6y2=1的基本解
由佩尔方程的通解知x_（3+2砰5+2）
3+
由特征方程知其所对应的递推公式为改+2=1°M+1-改，M=3,入2=27，得尤3=267,
因此仅易=27满足条件，此时〃=40.
所以这样的〃为1个.
故答案为：1.
2.已知凸四边形ACD满足ZABD=ZBDC=50\^CAD=ZACB=40°,则符合
题意且相似的凸四边形ABCD的个数为.
【答案】2
【解析】
【分析】先说明凸四边形AC。是平行四边形，然后设对角线AC中点为。，固定对角线
AC,则点D在固定的射线AD上，只需求出该射线上满足ZCDO=5Q°的点O个数即
可.由此借助圆蓦定理以及正弦定理进行说明，可得到结论.
【详解】对凸四边形AC。，由ZCAD=ZACB,有AD//BC;
由ZABD=ZBDC,有仙//CD,故四边形AC。为平行四边形.
如图，设对角线AC中点为。，下面固定对角线AC,则点。在固定的射线AD上，
只需求出该射线上满足ZCDO=50°的点。个数即可.
记过且与射线AD相切的圆为刃(这样的圆存在且唯一)，切点为DS
由圆蓦定理知ADf2=AOAC，从而AD=42AO-
首先说明匕CDO50°.
该结论等价于180°-ZCADf-2ZADrO50°，即ZADrO45°.
设匕4￡。=0,知。90°.在左凡00中，
AO______A__D_f____叩4。』。)=扼,
由正弦定理,sin。sin（140。-。）’即sin^
注意到7i=sm(14。。-所以sinovsin45。，且当9=45。时等号成立,
sin。sin。
故。v45°，结论得证.
则射线AD上在的左右两侧各有一个满足ZCDO=50°的点。，
故满足条件的形状同的凸四边形有两个，
故答案为：2.
3.已知正整数》超过2022且满足100整除2y+y,则这样的》的个数为.
【答案】20
【解析】
【分析】由题意可得4|2L进而得到4|》，所以设y=4/(l/504),贝|
5|24/+4/,从而得/=l(mod5),设f=5d+l,则y=4/=20€/+4(0€/100),
然后利用欧拉定理可求得结果
【详解】解：由于100|2+y,所以4|2+y.
显然，引，所以J2,所以4/,进而得到4|y.
设y=4/（l/504）,
贝ij5|24/+4/,由于24=l（mod5）,所以4/+l=0（mod5）,即/=l（mod5）.
设f=5d+,则y=4/=206/+4（0€/100）.
则22+4+20J+4三0（mod25）
由欧拉定理，伊（25）=20,所以22°