专题53离散型随机变量及其分布列与数字特征
知识必备
1离散型随机变量及其分布列
（1）随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中每个样本点ω都有唯一的实数Xω与之对应，我们称X为随机变量随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示.
显然在这个对应关系下，随机试验中样本点的出现具有随机性，所以变量X的取值也具有随机性，即随机变量X会随着试验结果的变化而变化.
注：i一般地，如果一个试验满足下列条件：（1）试验可以在相同的情形下重复进行；（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前不能确定这次试验会出现哪个结果这种试验就是随机试验.
ii有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数来表示如朕一枚硬币，X=0表示反面向上，X=1表示正面向上.
iii随机变量的线性关系：若X是随机变量，Y=aXb，a，b是常数，则Y也是随机变量.
（2）离散型随机变量
可能取值为有限个或者可以——列出来的随机变量，称为离散型随机变量.
注：i我们研究的离散型随机变量只取有限个值.
ii离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：（1）如果随机变量的可能取值是某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量；（2）离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果，但离散型随机变量的结果可以按一定的次序——列出，而连续型随机变量的结果不能——列出.
（3）离散型随机变量的分布列的
一般地，设离散型随机变量X可能取值为x1，x2，?，xn，我们称X取每一个值xi的概率
X
x
x
?
x
P
p
p
?
p
注：我们将上表称为离散型随机变量X的分布列有时也用等式PX=xi=
（4）离散型随机变量的分布列的性质
根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：
①pi
②p1
典型例题
考点一随机变量
【例题1】袋中有大小相同质地均匀的5个白球、3个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（）
A至少取到1个白球 B取到白球的个数
C至多取到1个白球 D取到的球的个数
【例题2】下面是离散型随机变量的是（）
A电灯泡的使用寿命X
B小明射击1次，击中目标的环数X
C测量一批电阻两端的电压，在10V～20V之间的电压值X
D一个在y轴上随机运动的质点，它在y轴上的位置X
【例题3】甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局用ξ表示甲的得分，则{ξ=3}表示（）
A甲贏三局 B甲赢一局
C甲、乙平局三次 D甲赢一局或甲、乙平局三次
考点二分布列及性质
【例题4】下列表中能成为随机变量X的分布列的是（）
【例题5】设离散型随机变量X的概率分布如下，则c=__________
X
2
0
2
P
1
1
c
【例题6】随机变量X的分布列如下，若p1，p
X
x
x
x
P
p
p
p
【例题7】甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为34，23，
考点三数字特征
【例题8】设离散型随机变量X的概率分布如下，则X的均值为（）
X
0
1
2
3
P
1
1
1
p
A23 B43
C53 D76
【例题9】随机变量X的分布列如下，则E5X
X
0
2
4
P
03
02
05
A16 B11
C22 D23
【例题10】随机变量X的取值为0，1，2，若PX=0=
A15 B25
C55 D105
【例题11】已知ξ的分布列为：
ξ
0
10
20
50
60
P
1
2
1
2
1
（1）求Eξ、Eξ
（2）设Y=2ξEξ，求
【例题12】已知离散型随机变量X的分布列如下，若EX=0，DX
X
1
0
1
2
P
a
b
c
1
A12 B25
C34 D23
【例题13】已知随机变量X的分布列如下表所示，则当DX取最大值时，a
A14 B38
C58 D716
X
0
1
2
P
a
b
b
【例题14】从装有2个白球和3个黑球的袋中无放回任取2个球，每个球取到的概率相同，规定：
取出白球得2分，取出黑球得3分，取出2个球所得分数和记为随机变量ξ1
取出白球得3分，取出黑球得2分，取出2个球所得分数和记为随机变量ξ2则（）
AEξ1Eξ2
CEξ1Eξ2
【例题15】为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为1
（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变