专题48计数原理与排列组合
1分类加法计数原理
完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2方案中有m2种不同的方法，，在第n类方案中有mn
2分步乘法计数原理
完成一件事需要分成n个步骤，完成第一步有m1种方式，完成第二步有m2种式，完成第n步有mn
3两个原理的区别
加法原理
乘法原理
完成一件事，共有n类办法，关键是“分类”
完成一件事，共有n个步骤，关键是“分步”
每类办法都能独立地完成这件事，它是独立的，一次的，且每次得到的最后结果，只需一种方法就可完成这件事
每一步得到的只是中间的结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步都不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事
各类办法之间是并列独立的
各步之间是有关联的，独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复
典型例题
考点一分类加法计数原理
【例题1】一个三层书架，分别放置语文类读物12本，政治类读物14本，英语类读物11本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有（）
A3种 B1848种
C37种 D6种
【例题2】椭圆x2my2n=1的焦点在
【例题3】在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
【例题4】三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少？
考点二分步乘法计数原理
【例题5】由A村去B村的道路有4条，由B村去C村的道路有3条，从A村经B村去C村不同的走法有（）
A7种 B9种
C11种 D12种
【例题6】a1b
A10 B18
C24 D36
【例题7】已知集合M={3，2，1，0，1，2}，P
【例题8】用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成多少个满足下列条件的整数？
（1）可以组成多少个无重复数字的四位数？
（2）可组成多少个允许数字重复的四位数？
（3）可组成多少个数字不重复的四位偶数？
【例题9】如图，一条电路从A处到B处接通时，可以有________条不同的线路（每条线路仅含一条通路）.
知识必备
[排列]
（1）定义：一般的，两个不同n元素中取出mm≤n个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做两个不同n元素中取出m
注意：排列的定义包含两个要点，一是“取出元素”，二是“按顺序排成一列”.
（2）排列数
两个不同n元素中取出mm≤n个元素的所有不同排列的个数，叫做两个不同n元素中取出m个元素的排列数，用符号A
注意：排列和排列数是两个不同的概念.
（3）排列数公式：Anm
从形式上看Anm等于从n开始依次递减的m个数相乘，比如：
（4）全排列
n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，这时公式中m=n，即有A
n的阶乘：正整数由1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示规定：0！=1.
A
A
（5）排列数的性质：
性质1：A
性质2：A
[组合]
（1）定义
一般的，两个不同n元素中取出mm≤n个元素合成一组，叫做两个不同n元素中取出m个元素的一个组合，也就是说，组合是两个不同n元素中取出m
注意：组合的定义包含两个要点，一是“取出元素”，二是“合成一组”.
（2）组合数
两个不同n元素中取出mm≤n个元素的所有组合的个数，叫做两个不同n元素中取出m个元素的组合数，用符号C
（3）组合数公式：Cnm=
规定：Cn
（4）组合数的性质
性质1：Cn
性质2：Cn
性质3：k
典型例题
考点三排列问题
【例题10】设a∈N，且a27，则27
AA27a8 B
CA34a7 D
【例题11】A2n
【例题12】沪宁铁路线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的这六个大站准备（这六个大站间）多少种不同的火车票？
【例题13】从3，5，7，11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lgalgb
A6 B8
C12 D16
考点四组合问题
【例题14】已知C5x=
A1 B2
C3 D4
【例题15】若Cm3
【例题16】男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人选派5人外出比赛在下列情形中各有多少种选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；
（2）至少有1名女运动员.
【例题17】甲、乙两人从4门课程中各选修2门.
（1）甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？
（2）甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？
【例题18】从7名男生，5名女生中选取5人，至少有2名女生入选的种数为________