专题55正态分布
知识必备
除了离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，他们的取值充满整个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续性随机变量.
1正态曲线
（1）定义
我们把函数fx=12πσ
（2）正态曲线的性质
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称，且在x=μ处达到峰值（最大值）12πσ，当x无限增大时，曲线无限接近
③曲线与x轴之间的面积为1；
④当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图所示：
⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图所示：
2正态分布
（1）定义：如果随机变量X的概率分布密度函数为正态密度函数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～Nμ，σ2特别地，当μ=0，σ=1时，称随机变量
若X～Nμ，σ2，落在区间（a，b]的概率PaX≤b，即为由正态曲线，过点a，0和点b，0的两条x轴的垂线，及x轴所围成的平面图形的面积下图中阴影部分的面积就是X
若X～Nμ，σ2
参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计.
注：由于一个随机变量取值的概率为0，故有PaX≤b
（2）3σ原则
若X～Nμ，σ2，对于给定的k∈
特别地，Pμ
P
由于Pμ3σ≤X≤μ3σ=09973，所以X的取值几乎总是落在区间μ3σ，μ3σ之内，而在此区间以外取值的概率大约只有00027，通常认为这种情况几乎不可能发生，即为小概率事件在实际应用中，通常认为服从于正态分布Nμ，σ
典型例题
【例题1】设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为fx
Aμ=2，σ=3 Bμ=3，σ=2
Cμ=2，σ=3 Dμ=3，σ=3
【例题2】已知正态分布密度函数φμ，σ
A曲线与x轴之间的面积为1
B曲线在x=μ处达到峰值12π
C当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移
D当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”
【例题3】已知三个正态分布密度函数φix=
Aσ1=σ2
Cσ2σ3
【例题4】设随机变量X服从正态分布N0，1，若PX1
【例题5】已知随机变量X服从正态分布N3，1，且PX≥4
A06826 B03413
C04603 D09207
【例题6】已知随机变量ξ服从正态分布N2，σ2，且
A06 B04
C03 D02
【例题7】设X～N1，1，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD
（注：若X～Nμ，σ2
A7539 B6038
C7028 D6587
【例题8】设X～Nμ1，
APY≥μ2≥PY≥
C对任意正数t，PX≤tPY≤t D对任意正数
【例题9】为了研究新冠疫情期间学生上网课的学习效果，学生返校复课后，某市对高三年级组织了一次调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度曲线函数为fx
A本次调研考试的平均分为85
B本次调研考试的方差为81
C随机抽查一名学生，其成绩在125分以上的概率比成绩在45分以下的概率大
D本次调研考试，其成绩在75，85和在85，95的人数大致一样多
【例题10】在某次数学考试中，学生成绩X服从正态分布100，δ2若X在85，115内的概率是05，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是（）
A2764 B964
C34 D916
【例题11】已知随机变量X服从正态分布X～N8，σ2
【例题12】已知随机变量X～N1，22
Am=2 Bm=4
C函数y=xmx的最大值为1 DX的正态曲线关于x=2对称
【例题13】某地组织普通高中数学竞赛初赛共有20000名学生参赛，统计得考试成绩X（满分150分）服从正态分布N110，100考试成绩140分及以上者可以进入决赛本次考试可以进入决赛的人数大约为（）
附：Pμ
A26 B52
C456 D13
【例题14】在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N100，100
（1）试求考试成绩ξ位于区间（80，120]内的概率；
（2）若这次考试共有2000名考生参加，试估计这次考试及格（不小于90分）的人数.
注：若X～Nμ，σ2
Pμ
【例题15】某共享单车集团为了进行项目优化，对某市月卡用户随机抽取了200人，统计了他们在同一月的使用次数（假设每月使用次数均在8至36之间）将样本数据分成[8，12），[12，16），[16，20），[20，24），[24，28），[28，32），32，36，七组，绘制成如图所示的频率分布直方图，并用样本的频率分布估计总体的频率分布.