专题7函数的单调性
知识必备
1单调性
一般地，设函数fx的定义域为I，区间D?I
如果?x1，x2∈D，当x1
特别地，当函数fx在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数如图①
如果?x1，x2∈D，当x1
特别地，当函数fx在它的定义域上单调递喴时，我们就称它是减函数如图②
2单调区间
如果函数y=fx在区间D上是单调递增或单调递减，那么就说函数y=fx在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫做
3单调性的定义法证明
用定义法证明：函数单调性的一般步骤：
（1）取值：即设x1，x
（2）作差变形：通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形.
（3）定号：确定差fx1f
（4）下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间.
4单调性运算及复合函数单调性
（1）增增=增，减减=减，增减=增，减增=减
（2）对于复合函数y=fgx的单调性，必须考虑函数y=fu与函数u=g
y=f
增函数
增函数
减函数
减函数
u=g
增函数
减函数
增函数
减函数
y=f
增函数
减函数
减函数
增函数
口诀：同增异减
5函数单调性的应用
i利用单调性求最值
（1）一般地，设函数y=fx的定义域为I，如果存在实数M
①?x∈I，都有fx≤M；②?x0∈I，使得fx0
（2）一般地，设函数y=fx的定义域为I，如果存在实数M
①?x∈I，都有fx≥M；②?x0∈I，使得fx0
ii利用单调性解不等式
（1）利用单调性解不等式是利用函数在某个区间内的单调性，通过函数值的大小关系，推出自变量取值之间的大小关系，然后解不等式；
（2）利用单调性解不等式要注意函数的定义域.
典型例题
考点一判断函数的单调性及证明
【例题1】函数y=1
【例题2】函数fx
【例题3】求函数y=x
【例题4】已知函数fx=x
【例题5】已知函数fx=x1x用定义证明
考点二函数单调性的应用
①已知单调性求参数
【例题6】若二次函数fx=x2a
【例题7】若fx=3a1x4a，x1ax，x≥1
A18，13
C0，13 D∞，
【例题8】已知函数fx=x2ax5，x≤1a
【例题9】已知函数fx=x212a
②利用单调性求最值
【例题10】函数fx=x
A?2 B12
C3 D13
【例题11】函数fx=1x1在区间
【例题12】函数fx=axlogax
③利用单调性解不等式
【例题13】函数y=fx在R上为减函数，且f2mf
A∞，3 B0，∞
C3，∞ D∞，3
【例题14】已知fx，x∈2，2满足x1x
【例题15】已知函数fx的图象关于直线x=1对称，当x2x11时，
Acab Bcba
Cacb Dbac