专道32解析几何中的极点极线问题
知识必备
1极点与极线的定义
定义1(几何角度)
如图1，设P是不在圆锥曲线上的点，过P点引两条割线依次交圆锥曲线于四点E、F、G、H，连结EH、FG交于N，连结EH，FG交于N，连结EG，FH交于M，则直线MN为点P对应的极线若P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线.
由图1可知，同理PM为点N对应的极线，PN为点M对应的极线，△MNP称为自极三点形若连结MN交圆锥曲线于点A、B，则PA，PB恰为圆锥曲线的切线.
定义2(代数角度)
已知圆锥曲线Γ：Ax2C
直线l：Ax0x
事实上，在圆锥曲线方程中，以x0x替换x2，以x0x
特别地，
(1)对于椭圆x2a2y2
(2)对于双曲线x2a2y2
(3)对于抛物线y22px，与点Px
2极点与极线的基本性质
定理1：
(1)当P在圆锥曲线Γ上时，其极线l是曲线Γ在P点处的切线；
(2)当P在Γ外时，其极线l是曲线Γ从点P所引两条切线的切点所确定的直线(即切点弦所在直线)
(3)当P在Γ内时，其极线l是曲线Γ过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.
证明：
(1)假设同以上代数定义，对于Γ：Ax
两边对x求导得2Ax2Cy
于是曲线Γ在P点处的切线l的方程为yy
化简得Ax
又Ax02
代入到前式得Ax
根据代数定义，此方程恰为极线方程.
(2)设过点P所作的两条切线的切点分别为Mx1，
Axx
Axx
又点P在切线上，所以A
Ax
观察这两个式子，可发现点Mx1，
(3)设曲线Γ过Px0，y0的弦的两端点分别为S
则有：A
Ax
观察两式，可发现Sx1，y1，Tx2，y2都在直线Axm
这意味着点Q在直线Ax
所以，两切线交点的轨迹方程为Ax
定理2(配极原则)
点P关于圆锥曲线Γ的极线p经过点Q?点Q关于Γ的极线q经过点P，直线p关于Γ的极点P在直线q上?直线q关于Γ的极点Q在极线p上.
由此可知，共线点的极线必共点，共点线的极点必共线.
定理3：如图2，设点P关于圆锥曲线Γ的极线为l，过点P任作一割线交Γ于A、B，交l于Q，则PAPBQAQB，这时称P，Q调和分割线段AB，或称P与Q
点P关于圆锥曲线Γ的调和共轭点的轨迹是一条直线，这条直线就是P的极线.
推论1：设点P关于圆锥曲线Γ的调和共轭点为Q，则有2PQ
即PA
证明：PA
?2PA?PBPQ?
推论2：如图3，设点P关于有心圆锥曲线Γ(设其中心为O)的调和共轭点为Q，直线PQ经过圆锥曲线的中心，则有OR2OP?OQ，反之，若有OR2OP?OQ成立，则点
证明：设直线PQ与Γ的另一交点为R若PRPR
推论3：如图4，A，B圆锥曲线Γ的一条对称轴l上的两点(不在Γ上)，若A，B关于Γ调和共轭，过B任作Γ的一条割线，交Γ于P，Q两点，则∠PAB∠QAB
证明：因Γ关于直线l对称，故在Γ上存在P，Q的对称点P
若P与Q重合，则Q与P也重合，此时P，Q关于l对称，有
若P与Q不重合，则Q与P也不重合，由于A，B关于Γ调和共轭，故A，B为Γ上完全四点形PQQP的对边交点，即Q在
3特殊的极点与极线
(1)圆锥曲线的焦点与其相应的准线是该圆锥曲线的一对极点与极线.
例如：对于椭圆x2a2y2
∴xa
(2)对于椭圆x2a2y2
对于双曲线x2a2y2
对于抛物线y22px而言，点Mm，0
定理4：设圆锥曲线Γ的一个焦点为F，与F相应的准线为l.
(1)若过点F的直线与圆锥曲线Γ相交于M、N两点，则Γ在M、N两点处的切线的交点Q在准线l上，且FQ⊥MN；
(2)若过准线l上一点Q作圆锥曲线Γ的两条切线，切点分别为M、N，则直线MN过焦点F，且FQ⊥MN；
(3)若过焦点的直线与圆锥曲线Γ相交于M、N两点，过F作FQ⊥MN交准线l于Q，则连线QM、QN是Γ的两条切线.
下面给出椭圆情形下结论(1)的证明，其余皆同理可证.
设Γ：x2a2y2b21ab0，Fc，0，l：xa2c，由于焦点F的极线为l
∴k
典型例题
【例题1】(2013山东)过点3，1作圆x12y21的两条切线，切点分别为
A2xy30 B
C4xy30 D
【例题2】过椭圆x225y291内一点M3，2，作直线AB与椭圆交于点A，B，作直线CD与椭圆交于点C，D，过点A，B分别作椭圆的切线交于点P
【例题3】(2021乙卷)已知抛物线C：x22pyp0的焦点为F，且
(1)求p；
(2)若点P在M上，PA，PB为C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值.
【例题4】(2021新高考Ⅱ)已知直线l：axbyr20与圆
A若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【例题5】已知椭圆C：x22y21的两焦点为F1，